信号在传输过程中不可避免地伴有随机噪声，因而需要对接收信号进行处理以去除其噪声，从而有利于目标信号的准确提取。信号的处理方法包括信号分析和信号滤波。常见的信号分析方法主要有频谱分析、时频分析。频谱分析通过将信号从时域转换到频域以获取信号的频率特性和频谱信息，常见的频谱分析技术是傅里叶变换^[1]。时频分析是一种将信号在时间和频率域上进行联合分析的方法，可以揭示信号的时变频率特征，常见的时频分析技术是小波变换^[2-4]。在实际情况下，由于目标信号多为非平稳信号，信号的均值、方差和自相关函数等统计特性会随时间发生变化，传统的信号分析技术如快速傅里叶变换^[5]等难以精确分析出目标信号。随着时频分析研究的不断深入，研究人员提出了分数阶傅里叶变换^[6-8]（fractional Fourier transform，FRFT）。由于FRFT可以在时频平面旋转任意角度，能同时获取时域和频域信息，因而可以更好地处理非平稳时变信号。信号滤波（滤波器）通过抑制或移除噪声频率上的能量以提高信号的质量和清晰度。基于频率特性，滤波器分为低通、高通、带通以及带阻滤波器^[9]等，分别允许不同频段的信号通过，多用于平稳的目标信号。对于非平稳目标信号，考虑到其频率的时变性，随着滤波技术的不断进步提出了自适应滤波器^[10-12]。与传统滤波器不同，自适应滤波器通过对信号进行连续的调整来自动调整滤波器参数，从而实现对信号的有效处理。非平稳信号中最典型的是线性调频（linear frequency modulation，LFM）信号。针对LFM信号的分析方法主要有小波变换、FRFT、希尔伯特-黄变换^[13-14]以及变分模态分解方法^[15-16]等。针对LFM信号的滤波方法主要是在时域中使用固定步长的自适应滤波技术。由于时域LFM信号自相关矩阵特征值的分散程度较大，而自适应滤波技术对输入目标信号自相关矩阵特征值的分散程度非常敏感，当分散程度较大时算法收敛性能下降，达不到滤波效果。笔者利用LFM信号在分数阶傅里叶域中具有能量聚集这一特性，对其利用FRFT进行时频分析。由于通过FRFT还可以降低LFM信号自相关矩阵特征值的分散程度，因而对分数阶傅里叶域中的信号采用自适应滤波技术以达到更好的处理效果^[17-24]。自适应滤波技术中固定的步长可能导致系统在接近最优解时发生振荡，尤其是当步长选择较大以追求快速收敛时振荡更甚，较难在噪声抑制和快速收敛之间取得平衡。为了能够根据当前的迭代情况动态调整步长大小，笔者将基于相关特性的箕舌线变步长^[25]思想应用于分数阶傅里叶域中的自适应滤波技术，以提高算法的收敛速度，增强算法对噪声的抑制能力。

1 基本理论

1.1 分数阶傅里叶变换（FRFT）

FRFT是一种信号分析处理工具，描述了信号在时域和频域上的变换关系。如图1所示， FRFT可以视为将信号在时间轴上逆时针旋转角度α到u轴上（u轴所在的空间即u-v平面被称为分数阶傅里叶域，简称u域）。当旋转角度α=π/2时，该变换就是传统的傅里叶变换，因此FRFT可以看作是传统傅里叶变换的扩展。从本质上看，信号在u域上的表示融合了信号在时域和频域的信息，可以准确地描述信号的时频特性。

图1中，t为时间轴，ω为频率轴，α为旋转角度，红色波形为信号在时域空间的波形，绿色波形为信号在频域空间的波形，黄色波形为信号在u域中的波形

时域信号x（t）的p阶FRFT的定义式为

式中，p为变换阶数; K_p（u，t）为核函数。K_p（u，t）的表达式为

式中，δ（t）为狄拉克δ函数；变换阶数p与时频平面的旋转角度α之间的关系为p=2α/π; n为任意整数。

u域中信号x_p（u）的FRFT逆变换（IFRFT）为

式（2）中p的周期为4，可以取任意实数。当p=4n时，变换结果回到信号自身。当4n＜p＜4n+1时，信号不仅包括频率成分，还包括时域信息，信号从时域逐渐变换到频域。当p=4n+1时，上述变换为传统的傅里叶变换，信号从时域完全变换到频域。当4n+1＜p＜4n+2时，信号再次进行时频转换，从频域又逐渐回到时域。当p=4n+2时，信号在时域下反转，相当于时间轴上的镜像变换。当p=4n+3时，变换的结果为信号在频域的复共轭，信号的频率成分保持不变，但其相位发生改变。

FRFT中引入的指数p代表了变换的阶数，不同的阶数对应不同的时频混合状态。由于p的引入，FRFT中的信号在某一时刻的主要频率成分不再是单一的频率点，而是对应一个连续的频率范围。这意味着，这个时刻的信号可以看作是该频率范围内各个成分的叠加。

LFM信号的频率是随时间线性变化的，时域中LFM信号的数学表达式x（t）为

式中，a为信号的幅度；f为信号的初始频率；k为信号的调频斜率。

设信号持续时间为T，将式（4）做传统的傅里叶变换后在频域的表达式为

其中

$A=1+\mathrm{i}.$

式中，Erfi为复误差函数，是误差函数Erf在复数域中的扩展。

由式（5）可以看出，传统的傅里叶变换只在频率域内分析信号，不考虑频率随时间的变化。由图1的绿色波形图可以看出，变换后的信号只包含了频域信息。由于LFM信号的频率是随时间线性变化的，这种线性变化的频率特性在频域中并不能得到有效表示。

将时域LFM信号x（t）做阶数为p的FRFT后，得到x_p（u）的具体表达式如下：

$\begin{array}{c}{x}_p\left(u\right)=-\frac{a}{C}\left(\frac{1}{4}-\frac{\mathrm{i}}{4}\right)exp\times \\ \left\{\frac{\mathrm{i}\left[-f^2-{\pi }^2{u}^2+k{\pi }^2{u}^2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{p\pi }{2}\right)+2f\pi u\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\left(\frac{p\pi }{2}\right)\right]}{\pi C}\right\}Z\end{array}$

其中

$\begin{array}{c}C=k+cot\left(\frac{p\pi }{2}\right),Z=\sqrt{1-i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{p\pi }{2}\right)},\\ M=-\pi u+fsin\left(\frac{p\pi }{2}\right),\\ H=\sqrt{-k+k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(p\pi \right)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(p\pi \right)}.\end{array}$

式（6）能够同时考虑信号的时间和频率信息。对于一个特定的阶数p，FRFT的旋转角度可以与LFM信号的调频斜率相匹配。由图1的黄色波形图可以看出，当这种匹配发生时，LFM信号的时频特性在u域中得到最佳表示，其能量沿着特定的时频轨迹集中，形成一个明显的能量峰，因此FRFT适合于处理LFM信号。这个特定阶数为相应调频斜率下的最优阶数，调频斜率与最优阶数的关系^[26]为

1.2 自适应滤波器

自适应滤波器可以根据输入信号的特性自动调整滤波器的参数，以达到最优的滤波效果，其结构如图2所示。由图2可以看出，自适应滤波器包括3部分：最小均方（least mean square，LMS）滤波算法、数字滤波器和性能分析。LMS滤波算法：基于梯度下降法在每一步迭代中根据当前的滤波器参数和误差信号来更新参数，使误差信号的均方误差最小化。数字滤波器：本文中基于有限长冲激响应滤波器，通过加权系数和延时器进行加权和求和运算，以得到输出信号。性能分析：用自适应滤波器的输出信号和期望响应信号间的均方误差来判断自适应滤波器对输入信号的滤波效果。

LMS滤波算法的具体流程如图3所示。输入信号x（n）（n=1，2，···，N，N为信号在持续时间内依次采样的采样点总数目）经过滤波器的信号重建后转换成x^t（n）信号，期望信号d（n）经滤波器信号重建后同样也会形成信号d^t（n）。其后的具体处理流程如下：

（1）初始化滤波器参数，为滤波器设置合适的初始参数值。

（2）信号延迟。重建后的输入信号经过一系列的延迟单元（其中z^-1表示一个单元的时间延迟），产生一系列的延迟信号x^t（n-1），x^t（n-2），···，x^t（n-L），其中L是滤波器的长度。

（3）信号输出。每个延迟后的信号与相对应的权重相乘并累加，形成输出信号y（n），即

式中，w_l（n）表示第n步与第l个延迟信号相对应的滤波器权重系数。

（4）计算误差信号。将输出信号的估计值与期望信号进行比较，计算它们之间的误差e（n），即

（5）更新滤波器参数。根据当前的误差信号和输入信号，使用梯度下降法更新滤波器的参数，参数的更新公式为

式中，μ为步长参数。

在自适应滤波器中利用LMS算法更新滤波器参数，并将更新的滤波器参数与输入信号的各个部分进行相乘求和从而得到输出信号，这种对原始输入信号的处理可以提高信号的质量。由式（10）可知，LMS算法能够根据输入信号的变化和外部环境的变化自动调整自己的参数，从而实现最优的滤波效果。

1.3 分数阶傅里叶域中自适应滤波技术的引入

非平稳的LFM信号属于宽带信号，当与噪声混合时，目标信号和噪声信号在时域和频域会有比较严重的重叠，存在显著的时频耦合现象，这使得传统的滤波技术难以有效区分信号和噪声。FRFT利用时频域表示信号，在u域中信号和噪声的表示可能只有很少的重叠甚至可能完全不重叠，可以使LFM信号得到有效处理。为了将噪声与信号进行有效分离，在u域中引入基于LMS算法的自适应滤波技术，并引入基于相关特性的箕舌线变步长思想。在信号处理过程中，首先将输入信号和自适应滤波算法里的参考信号通过FRFT转换到u域，使信号的时频特征更加明显；然后在u域中利用自适应滤波技术，根据信号在u域中的时频特性自动调整滤波参数，实现对目标信号的最优处理。

在u域进行自适应滤波操作，需找到对输入信号x（n）和期望信号d（n）做FRFT的最优阶数。本文中通过利用二级搜索技术找出信号在（p，u）平面的峰值位置，相对应的p即是最优阶数，在最优阶数下对信号进行降噪处理时均方误差最小。二级搜索技术首先采用较大的步长进行第一级搜索（全局搜索），搜索出粗略的参数值，紧接着进行第二级搜索（局部优化），采用更加精确的步长进行更精细的搜索和优化，进而寻找出最优阶数。在最优阶数下对信号做FRFT，可以得到u域中的输入信号$x_p^{\mathrm{t}}$（n）以及期望信号$d_p^{\mathrm{t}}$（n）。在u域中对变换后的信号使用变步长LMS算法，确定好相对应的步长更新参数后对信号进行滤波处理，将滤波后的u域信号做最优阶数下的IFRFT后得到输出信号。u域中LMS算法的具体流程如图4所示。

u域中系统的输出信号为

自适应滤波算法的误差信号为

权系数的递推公式为

步长参数μ的选择决定了滤波器的收敛速度和稳定性。一种常见的变步长方法是基于Sigmoid函数的原理，其步长更新公式如下：

式中，B为控制Sigmoid函数范围的参数；A为控制Sigmoid函数形状的参数。虽然此算法通过自适应步长调节机制提高了收敛速度和稳态精度，但是由于误差信号不仅包含目标信号的偏差信息，还含有噪声成分，在噪声强度较大时步长的调整受到噪声的干扰增大，导致步长频繁波动，影响收敛的稳定性和精度。

本文中基于高斯白噪声相关性差的特性，采用基于相关特性的箕舌线变步长思想^[25]，得到步长更新公式：

式中，参数α为箕舌线波形控制系数，控制着箕舌线函数的波形，α＞0；参数β为幅值控制系数，控制着箕舌线函数的取值，β＞0；E为期望值函数。实际计算时需根据信号的不同确定合适的α和β值。

式（15）中，e_p（n）=k_p（n）+c_p（n），其中k_p（n）为误差中信号的分量，c_p（n）为误差中高斯白噪声的分量，于是期望值函数E可表示为

由于高斯白噪声的随机性和零均值特性，使其与信号在统计上没有共同趋势，因此高斯白噪声与信号的相关性差。再考虑到高斯白噪声自身相关性差的特性，有

$\begin{array}{c}E\left[k_p\left(n\right)c_p(n-1)\right]=E\left[c_p\left(n\right)k_p(n-1)\right]=\\ E\left[c_p\left(n\right)c_p(n-1)\right]=0.\end{array}$

于是式（16）变为

由式（17）可以看出，采用基于相关特性的箕舌线变步长思想得到的步长更新公式（15）消除了误差中噪声分量的影响，能够有效地应对嘈杂环境下的噪声干扰，在低信噪比情况下仍能有效地进行信号处理。

在初始迭代阶段步长较大，这有助于加速算法的收敛过程，使其快速接近目标解，但一般误差也较大。随着迭代步数的增加，算法逐渐接近收敛、向最优解靠近，误差和步长都会相应减小，这有利于算法在接近最优解时维持较高的精确度，从而保证较小的稳态误差。总而言之，这种动态调整步长和误差的方法在算法的不同阶段平衡了收敛速度和精确度，以期达到高效且稳定的优化性能。

算法通过不断更新滤波器权重系数来逐渐减小误差信号，最后使误差信号收敛到最小值。算法收敛性问题主要就是通过迭代调整滤波器权重系数使得算法逐渐接近最优解的问题。滤波后信号的归一化均方误差公式为

其中

${\sigma }_d^2=\frac{1}{N}\stackrel{N}{\underset{n=1}{\mathrm{\Sigma }}}{\left[d_p^{\mathrm{t}}\left(n\right)-\overline{d_p^{\mathrm{t}}}\right]}^2.$

式中，${\sigma }_d^2$为期望信号的方差; $\overline{d_p^{\mathrm{t}}}$为u域中所有期望信号的平均值。

2 实例仿真分析

2.1 方法验证

以一个单分量LFM信号的仿真过程为例验证上述方法的有效性。时域中仿真信号的数学表达式为x（t）=exp（iπkt²），其中调频斜率k=6.0×10^-4，信号的持续时间是200 s，采样频率为5 HZ，采样点数为1000，波形如图5（a）中的蓝色曲线所示。在信号中加入信噪比为-5 dB、均值为零的高斯白噪声n（t），加入噪声后的波形如图5（b）所示。

利用式（6）对图5（b）所示的信号做FRFT，得到信号在（p，u）二维平面上的分布结果如图5（c）所示。利用u域的二级搜索技术在图5（c）中寻找出进行FRFT的最优阶数为p=1.015。在最优阶数下将图5（b）信号做FRFT，变换后的信号在u域的波形如图5（d）所示。将图5（d）所示的信号作为输入信号，采用式（11）给出的自适应滤波技术进行滤波处理，经多次迭代直至输出稳定的信号，输出信号在u域的波形如图5（e）所示。利用式（3）将滤波后的u域信号做最优阶数下的FRFT逆变换，最后得到时域的仿真结果如图5（a）中的红色曲线所示。

由图5（a）的仿真结果可以看出，滤波后的波形与原始的理想信号具有很好的相似性。这说明在低信噪比的情况下，利用变换域LMS算法在最佳分数阶傅里叶域（最优阶数下的u域）中进行滤波处理，可将大部分噪声信号滤掉，实现对有用信号的有效提取。

2.2 不同滤波技术对比分析

为了显示自适应滤波技术的优势，将滑动平均处理、小波变换和本文自适应方法3种滤波技术进行对比。滑动平均滤波的基本原理是通过计算信号中每个点及其邻近点的平均值来平滑信号，从而减小数据中的噪声干扰，突出信号的整体趋势。本文中使用Matlab中的filter函数实现滑动平均处理。小波变换去噪的基本原理是通过小波变换将信号分解到不同的尺度空间，在各个尺度上识别并去除噪声成分，最后通过逆小波变换重构出去噪后的信号。此方法能够在保留信号主要特征的同时有效抑制噪声。在小波变换中为了较彻底地去噪，本文中使用启发式阈值估计法，为了保留信号的细微变化、减少信号失真的产生使用软阈值函数。在图5（a）蓝色曲线所示的时域信号中分别加入信噪比为5 dB和-5 dB的高斯白噪声，在最优阶数下做FRFT后分别采用上述3种技术进行滤波处理，经FRFT逆变换后得到时域的仿真结果分别如图6（a）和（b）所示。为了更加清晰地显示出不同信噪比情况下3种滤波技术的差异，在信噪比从-20 dB到20 dB的连续变化范围内分别计算了上述3种技术的归一化均方误差，如图6（c）所示。

由图6（a）可见，在高信噪比的情况下，由于目标信号强度相对较大，3种滤波技术的降噪效果都比较好。但当信噪比较低时，如图6（b）所示，在滑动平均处理和小波变换的结果中目标信号仍然混杂了较大部分的噪声信号，而自适应滤波技术仍能较准确地提取出目标信号。由图6（c）可见，在低信噪比的情况下，滑动平均处理与小波变换滤波后的信号均方误差较大，随着信噪比的增加，两种技术滤波后信号的均方误差逐渐减小。而无论是在低信噪比还是在高信噪比的环境下，采用自适应滤波技术处理后的信号均方误差均较小。这说明在低信噪比的情况下，自适应滤波技术较另外两种技术滤波效果更好，更容易从高强度噪声中提取出微弱的目标信号。

2.3 步长和信噪比对信号误差的影响

为了分析不同步长情况下信号处理的收敛性，展示基于相关特性的箕舌线变步长思想在算法收敛速度和噪声抑制能力方面的优势，仿真模拟了4种步长情况下图5（b）所示的信噪比为-5 dB的单分量LFM信号，并给出了对信号进行处理后归一化均方误差与迭代次数之间的关系曲线，这种曲线又称为学习曲线，如图7（a）所示。这4种步长算法分别为固定步长LMS算法、归一化LMS（NLMS）算法、基于Sigmoid函数的变步长算法和本文中提出的基于相关特性的箕舌线变步长算法，其中第一种算法即固定步长算法的步长取值为μ=1.2，另外3种算法均为变步长算法。

由图7（a）可见，在上述4种步长的算法中，基于相关特性的箕舌线变步长算法的收敛速度最快，收敛后达到的归一化均方误差最小，对噪声的抑制能力最强。由于固定步长算法无法根据输入信号的变化进行自适应调整，当输入信号的统计特性发生变化（功率变化和噪声干扰增加）时，算法的性能会显著下降，故其收敛性最差。NLMS是比较简单的变步长算法，是根据输入信号的功率归一化来改变步长的，没有充分利用误差信号的信息来加速收敛，所以其收敛速度也较慢。基于 Sigmoid 函数的变步长算法考虑了误差的影响，但由于误差中包含了噪声因素，所以受噪声影响较大。而本文中提出的基于相关特性的箕舌线变步长算法大大价格低了滤波过程中噪声的影响，提高了对噪声的抑制能力，所以滤波效果最好。

接收信号中噪声信号的强度常常是不确定的。为了分析不同信噪比情况下信号滤波处理后学习曲线的收敛性，采用基于相关特性的箕舌线变步长自适应滤波技术仿真模拟了信噪比分别为-10、-5、5 dB的含噪声单分量LFM信号，并给出了相应的学习曲线，如图7（b）所示。由图7（b）可见，随着信噪比的增加，信号滤波后均方误差的收敛速度加快，收敛最终达到的极值逐渐变小。这是因为随着信噪比的增加，噪声信号对目标信号的干扰逐渐降低，更容易对噪声信号进行抑制。

2.4 调频斜率和变换阶数对信号误差的影响

由式（7）可知，LFM信号的调频斜率k不同，进行FRFT的最优阶数p也将不同。为了分析调频斜率和变换阶数对信号处理误差的影响规律，仿真模拟了6.0×10^-4、6.0×10^-3、6.0×10^-2三种调频斜率情况下信噪比为-5 dB的单分量LFM信号，并给出了采用自适应滤波技术对信号进行处理后的归一化均方误差与变换阶数之间的关系，如图8（a）所示。由图8（a）可知，不同调频斜率情况下信号的归一化均方误差与变换阶数之间的关系存在差别。但每一个调频斜率都对应一个特定的变换阶数，在此阶数下信号的归一化均方误差最小，这个特定的变换阶数就是进行FRFT的最优阶数。随着调频斜率的增大，与之对应的最优阶数逐渐增大，此阶数下信号归一化均方误差的最小值也在逐渐增大。这是由于自适应滤波器存在记忆效应，能根据输入信号的特性调整其权重，使输出误差最小化。当调频斜率变大时，输入数据的频率增加就快，滤波器的权重调整跟不上信号的变化速度，滤波算法不能在权重空间中实时跟踪到均方误差达到最小值时对应的点，导致滤波器参数达不到最优取值，从而使滤波器性能下降、最优阶数下信号的均方误差增大。

为了进一步分析不同变换阶数下信号处理的收敛性，取调频斜率k=6.0×10^-4，仿真模拟了变换阶数分别为0.9、1.015（最优阶数）、1.1、1.2时信噪比为-5 dB的单分量LFM信号，并给出了对信号进行处理后归一化均方误差的学习曲线，如图8（b）所示。由图8（b）可知，当变换阶数为最优阶数时，信号的归一化均方误差收敛的速度最快，最终达到的极值最小。变换阶数偏离最优阶数的程度越高，误差收敛的速度越慢，最终达到的极值越大。这是由于当选择的变换阶数不是目标信号的最优阶数时，变换的角度不能使目标信号的能量得到很好的集中，噪声信号的能量会干扰目标信号的能量，难以实现信号和噪声的彻底分离。

3 多分量目标信号的提取

复杂环境中接收到的信号往往包含多个源发出的目标信号，不同分量的LFM目标信号叠加在一起，形成了多分量LFM信号^[27-28]。这些信号的特征相互交织，使得对单一信号的识别和分析变得复杂。多分量LFM信号的表达式可表示为

式中，a_j为第j个信号的幅度；f_0j为第j个信号的初始频率；k_j为第j个信号的调频斜率；n（t）为高斯白噪声。

接收到的信号中不同分量信号的强度一般不同，强分量的目标信号会覆盖弱信号，干扰弱分量目标信号的识别。将目标信号在合适的阶数下经过FRFT后，强分量的目标信号将发生能量聚集现象，即强分量信号在u域中显示为窄脉冲，而弱分量的目标信号仍保持宽带的形式。基于上述分析，在对含有弱分量的LFM信号进行滤波时，若直接在u域中进行处理，由于弱分量目标信号显示为宽带形式，滤波后信号的误差将会较大，不利于弱目标信号的准确提取。

在对这种信号进行滤波时，利用强分量信号显示为窄脉冲、弱分量信号表现为宽带的特性，先在合适阶数下提取出强分量的目标信号，对提取出的强分量目标信号进行FRFT逆变换转换到时域空间。在对弱分量目标信号进行提取时，先从信号中去除提取出的强分量目标信号，然后对剩余的含噪声信号利用二级搜索技术寻找出弱分量目标信号的最优阶数，再利用自适应滤波技术对弱目标信号进行提取，最后将提取出的强分量目标信号与弱分量目标信号进行叠加得到时域总目标信号。

在式（19）中，设多分量LFM目标信号源的数目J=3，包含两个强分量和一个弱分量目标信号，信号的振幅分别为a₁=1.3、a₂=0.9、a₃=0.5。取调频斜率分别为k₁=9.0×10^-4、k₂=6.0×10^-4、k₃=7.0×10^-8，初始频率分别为f₀₁=2 Hz、f₀₂=1 Hz、f₀₃=0.5 Hz。信号的采样频率为5 HZ，采样点数为1000，信噪比为-10 dB，含高斯白噪声的波形如图9（a）所示。对信号做FRFT后在（p，u）二维平面上的结果如图9（b）所示，图中只能显示出两个强分量信号。由于弱分量信号的能量相对较低，在变换域中无明显显示，导致其被强分量信号淹没，不能被有效检测。

为了解决弱信号被多个强信号淹没的问题，基于上述步骤逐步提取出不同分量的信号。利用二级搜索技术在图9（b）中寻找出最大峰值，这个峰值对应的阶数就是第一个强分量信号的最优阶数，其数值为p₁=1.022。在此阶数下将图9（a）的信号做FRFT，变换后的信号在u域的波形如图9（c）所示。采用自适应滤波技术对图9（c）的信号进行第一次滤波处理，处理后的信号在u域的波形如图9（d）所示。由图9（d）可以看出，利用上述方法可以滤掉大部分的噪声信号。

对第一次滤波后的信号进行FRFT逆变换，得到第一分量的时域信号。将该信号从图9（a）所示的总信号中扣除后，对剩余信号继续做FRFT，变换后在（p，u）二维平面上的结果如图9（e）所示。图9（e）中只有一个窄带脉冲，对应第二个强分量信号，第一个强分量信号因已被从总信号中扣除而无明显显示，弱分量信号仍无明显显示。利用二级搜索技术在图9（e）中寻找出最大峰值，这个峰值对应的阶数就是第二个强分量信号的最优阶数，其数值为p₂=1.015。在此阶数下将扣除第一分量的剩余时域信号做FRFT，变换后的信号在u域的波形如图9（f）所示。采用自适应滤波技术对图9（f）的信号进行第二次滤波处理，处理后的信号在u域的波形如图9（g）所示。

重复上述过程从而提取出弱分量目标信号。图9（h）为扣除第二分量的时域信号并进行FRFT后在（p，u）二维平面上的结果。图9（h）中只有一个峰值，这个峰值对应的就是弱目标信号。由于没有强分量信号的遮蔽，弱目标信号的能量得到了很好的聚集，形成了尖峰。利用二级搜索技术在图9（h）中搜索到的最优阶数p₃=1.0，变换后的信号在u域的波形如图9（i）所示，滤波处理后的信号在u域的波形如图9（j）所示。

将3次滤波后经FRFT逆变换得到的时域信号进行叠加即可得到最终的目标信号，结果如图9（k）所示。由图9（k）可以看出，利用上述方法能比较准确地提取出含弱分量的目标信号，并实现对有用信号的处理。

4 结论

（1）利用基于相关特性的箕舌线变步长LMS算法在最佳分数阶傅里叶域中进行滤波处理，可将混杂在LFM信号中的大部分噪声信号滤掉，实现对有用信号的有效提取。

（2）在高信噪比的情况下，滑动平均处理、小波变换和自适应滤波技术的降噪效果都比较好。但当信噪比较低时，自适应滤波技术滤波效果更好，更容易从高强度噪声中提取出微弱的目标信号，适用范围更广。

（3）调频斜率、变换阶数和信噪比均对信号误差产生影响。调频斜率越大，对应的最优阶数越大，最优阶数下信号的均方误差增大。当变换阶数为最优阶数时，信号误差收敛到极小值的速度最快，最终达到的极值最小，滤波处理的效果最好。信噪比越大，信号滤波后误差的收敛速度越快，收敛最终达到的极值越小，更容易对噪声信号进行抑制。

（4）对存在强度差异的多分量LFM信号进行滤波时，为了解决弱信号被强信号淹没的问题，可采用先提取强信号再依次提取弱信号的步骤，逐级提取出不同分量的信号。这种逐级提取的方法可有效减少强分量信号对弱分量信号的干扰，优化了弱分量信号的提取性能。

参考文献