高密度聚乙烯（HDPE）板壳结构具有很强的柔韧性、耐腐蚀性和可熔接性，被广泛应用于油田集输系统及城镇燃气输配等石油化工领域^[1-2]。但受材料特性、服役环境和加工制造过程的影响，这些HDPE板壳结构在运行过程中不可避免地会产生材料性能退化和损伤累积，严重威胁工业设施的可靠性和安全性^[3-4]。超声导波因其检测范围广、损伤灵敏度高和便捷高效等优点，目前被广泛应用于板壳结构的损伤检测和结构健康监测^[5-6]。然而，实际服役环境中的温湿度变化^[7]、结构应力^[8]等因素会影响导波模态的频散特性，并在损伤信号中引入不确定性特征，从而限制导波检测技术的可靠性和准确性。为此，国内外学者针对典型环境因素对导波频散特性的影响开展了一系列研究。环境温度变化会改变材料模量和几何特性，从而影响导波的频散特性。现有研究从不同角度探索了温度变化对导波信号幅值、相位和波速的影响规律。Raghavan等^[9]通过试验研究了温度变化对板壳结构中Lamb波传播特性的影响，但只分析了特定频率下的部分低阶模态。在此基础上，Jacob等^[10]发展了热致声弹性理论，理论分析了热致应变对铝板相速度和群速度的影响。Yang等^[11]提出了半解析有限元模型，首次探讨了非均匀温度变化对铁轨结构中导波频散特性的影响，得到了不同频率下导波波速对温度的敏感性。然而，该研究忽略了非均匀温度引起的结构热应力，且缺乏试验验证。结构应力的存在会显著影响导波波速、信号的幅值和相位。Gandhi等^[12]采用部分体波叠加法计算了单轴应力板中兰姆波的相速度频散曲线。Mohabuth等^[13-14]着重探究了单轴应力下高阶导波模态的相速度变化规律。随后，Pei等^[15]基于增量变形理论探讨了铝板中高阶兰姆波的声弹性效应，发现截止频率处的高阶模态在应力无损评估技术中具有应用潜力^[16]。近年来，Kang和Qiu等^[17-18]开始考虑结构应力下压电陶瓷片的机-电转换特性，通过试验和多物理场仿真进一步探究了结构应力对导波信号幅值和相位的影响机制。综上所述，温度和应力作为典型环境因素对导波频散特性的影响是显著的。然而，上述研究只考虑了单一环境因素，针对实际服役环境中温度-应力耦合作用的影响尚不明确。对此，笔者建立温度-应力耦合下HDPE板壳结构的频散模型，通过多研究步叠加求解，分析不同温度-应力耦合条件和传播方向对导波频散特性的影响规律，定量表征不同频率下导波模态相速度变化的敏感程度，为导波损伤检测中激发模态和频率的优选提供理论依据。

1 温度-应力耦合的频散分析模型

基于Floquet-Bloch周期性边界，采用COMSOL Multiphysics有限元软件中的固体传热和固体力学模块，建立HDPE板壳结构在温度-应力耦合作用下的频散分析模型。模型建立主要分为以下几步：物理模型简化、材料参数设置、边界及约束条件设置、模型求解设置和网格划分。

1.1 物理模型简化

HDPE板壳结构可看作由若干相同几何和物理特征的子结构排列而成，如图1所示。将HDPE板壳结构简化为三维子结构模型，并在其x和y方向应用Floquet-Bloch周期性边界条件来模拟无限大均匀波导，可有效缩减数值模型的计算规模。

在此基础上，将温度变化与应力影响下的导波传播问题简化为两个研究过程，即温度-应力耦合作用下的结构静态预变形，以及叠加在静态预变形上的弹性波扰动。其中，将初始温度T₀=25℃下的无应力子结构称之为初始状态。为了便于分析温度-应力耦合作用下HDPE板壳结构的频散特性，建立的数值模型基于以下假设：①板壳结构由连续且均匀的各向同性材料组成；②弹性波扰动远远小于温度和应力引起的静态预变形；③材料的三阶弹性常数不受温度变化影响。

1.2 材料模型设置

为考虑静态预变形过程中材料的非线性应力-应变关系，本文中采用Murnaghan超弹性材料本构模型，并计算温度-应力耦合作用下子结构的应变能W，即

式中，tr为迹算符；E为拉格朗日应变张量，GPa；λ和μ为Lamé常数，GPa；l、m和n为Murnaghan常数，GPa。模型中引入具有温度依赖性的弹性模量E_T和泊松比v_T来反映温度变化对材料二阶弹性常数的影响，表达式^[19]如下：

式中，25℃下HDPE材料密度ρ₀为968.6 kg/m³; 线性热膨胀系数α_T为1.31×10^-4 1/K; Lamé常数λ₀和μ₀分别为3.51 GPa和0.86 GPa。采用热致声弹性试验^[20]可以确定HDPE材料的Murnaghan常数l、m与n分别为-28.43 GPa，-22.54 GPa和-10.36 GPa。

1.3 边界及约束条件

如图2所示，COMSOL Multiphysics有限元软件中的固体传热和固体力学模块可以通过热膨胀接口相互耦合。在固体传热模块中，子结构的初始温度T₀设为25℃，上下表面分别设为恒温边界T_u和T_b。本文中仅考虑均匀温度变化对HDPE板壳结构频散特性的影响，故令T_u=T_b。

在固体力学模块中，沿着x和y方向在四周表面添加Floquet-Bloch周期性边界条件，定义如下：

式中，k_x=k_Fcos θ，k_y=k_Fsin θ分别为波数k_F沿x和y方向的分量；θ为导波传播方向与x轴的夹角；l_x、l_y分别为子结构沿x和y方向的长宽尺寸；u为位移场。随后，在子结构的外表面施加边界载荷条件，如正应力σ_x和σ_y，以模拟实际服役环境中HDPE板壳结构的多轴应力状态。为保证数值解的收敛性，子结构模型需添加合适的位移约束条件。在均匀温度变化和正应力作用下，可以对点A（l_x/2，l_y/2，d）施加x和y方向上的位移约束，对点B（l_x/2，l_y/2，d/2）施加固定约束条件。

1.4 模型求解

模型求解分为两个叠加研究步，包括温度-应力耦合作用下的稳态分析，以及叠加在静态预变形下的特征频率分析，具体如下：

（1）固体传热模块和固体力学模块依据各自设置的边界条件分别计算温度场和应力场，并通过热膨胀接口相互耦合，得到温度-应力耦合作用下子结构的静态预变形和应变能，当作研究步骤（2）的初始值。其中，温度变化和外加应力会改变子结构的截面厚度，形成变形后的参考坐标系。但为了便于后续试验验证，本文中选用初始状态下的参考坐标系来计算导波的频散特性。值得注意的是，在稳态分析时需禁用Floquet-Bloch周期性边界条件以确保数值求解正确。

（2）由于导波的机械扰动非常小，其对结构初始应变能的影响可以忽略不计，故采用特征频率分析可叠加求解静态预变形下HDPE板壳结构的频散关系。设置式（4）中波数k_x和k_y的扫描步长、起始值、截止值，以及待求解特征频率的数量，通过参数化扫描波数，计算对应的特征频率。其中，波数k_x和k_y的取值范围为[0，π/l_x]和[0，π/l_y]。为了让问题更简单，可以令子结构的长宽相等，即l_x=l_y。

在后处理中，可以定义一个垂直于导波传播方向的二维子结构截面，从而提取任一导波模态的位移波结构。此外，依据下式可进一步得到频率f与相速度C_p和群速度C_g间的频散关系：

1.5 网格划分及无关性验证

网格划分质量对数值模型的计算成本和结果精度至关重要。因此有必要开展网格无关性验证，以确定合适的网格划分尺寸。以2 mm厚HDPE平板为例，建立了几何尺寸为0.2 mm×0.2 mm×2 mm的子结构模型。采用表1中6种不同尺寸的自由四面体单元进行网格划分。在COMSOL Multiphysics有限元软件中，可通过面网格复制来保证Floquet-Bloch周期性边界上的网格划分完全一致。随后，计算了均匀环境温度T_u=T_b=40℃和单轴拉伸应力σ_x=5 MPa耦合作用下HDPE平板的频散特性。其中，依据式（2）和式（3）可以确定环境温度40℃下HDPE的横纵波波速分别为2212.5 和873.9 m/s，由于材料的温度依赖性，这与初始温度下的横纵波波速存在明显差异。此外，本文中规定拉应力为正值，压应力为负值。

图3为导波沿着x方向传播时不同网格划分程度的相速度频散曲线，其中高频区间导波模态的相速度存在较大差异。为了便于观察，选取k_x=1800 rad/m的6个导波模态Lamb-A₀、SH₁、Lamb-S₁、Lamb-A₂、SH₄和Lamb-S₃，并绘制其相速度随网格数量的变化曲线，如图4所示。可以发现，随着网格数量的增加，6个导波模态的相速度迅速减小然后趋于稳定。其中，网格No.6和No.5计算得到的导波模态相速度最大相对差异仅为1.56×10^-6，但网格No.6的数值计算时间却远大于网格No.5，如表1所列。因此，为了平衡结果精度和计算成本，本文数值模型中采用的最大网格尺寸为0.04 mm，网格单元总数量为19465。

2 试验验证

2.1 试验设备及方案

为了验证所建立频散分析模型的准确性，采用图5所示的超声导波试验系统来测量温度变化与单轴应力耦合作用下导波模态的相速度变化。主要试验设备为任意函数信号发生器（型号为Tektronix AFG31021）、高压放大器（型号为Aigtek ATA-2022B）、环境箱、卧式拉伸试验台、PZT压电陶瓷片和示波器（型号为Tektronix DPO2002B）。其中，几何尺寸为350 mm×300 mm×2 mm的HDPE平板由两侧夹具夹持被放置在环境箱内，通过拉伸试验台可以对其施加恒定的单轴拉伸应力。HDPE平板的中心区域粘贴7对PZT压电陶瓷，在试验中依次进行导波信号的激励和接收。初始状态（环境温度为25℃且无应力加载）下，所有压电陶瓷片与板中心的距离均为50 mm。

如图6所示，选取3种特定频率下群速度最大的导波模态进行验证试验，分别为150 kHz下的Lamb-S₀模态、400 kHz下的Lamb-A₁模态和600 kHz下的Lamb-S₁模态。测量时通过环境箱和拉伸试验台控制HDPE平板的温度-应力耦合状态，使用任意函数信号发生器激励五周期汉宁窗调制的正弦脉冲信号来减少频谱旁瓣，使能量集中于激发频率，为后续信号分析和处理提供便利。激励信号经高压放大器增益后用于驱动PZT压电陶瓷片。最后，通过示波器对PZT压电陶瓷片接收的导波信号进行512次平均采集并分析其相速度变化。

2.2 试验结果分析与对比

图7为不同激发频率下PZT压电陶瓷片接收的导波信号时域图。可以发现，首达波由于群速度更快可以轻易地与其他模态和边界反射波进行区分。随后，利用希尔伯特变换绘制了导波信号的包络线，通过飞行时间法确定了首达波的群速度，如表2所列。可以发现，不同激发频率下 Lamb-S₀、Lamb-A₁和Lamb-S₁模态的理论群速度与试验值非常接近，最大误差仅为4.20%。因此后续分析中只需提取对应的首达波部分进行信号处理即可。

Gandhi等^[18]推导了导波模态相速度变化ΔC_p与相位点时间偏移Δt的理论关系，表达式如下：

式中，C_p0为初始状态下导波模态的相速度；l₀为初始状态下PZT压电陶瓷片之间的距离，即l₀=100 mm；ΔC_p为温度-应力耦合作用下导波模态的相速度变化，即ΔC_p=C_p-C_p0。本文中选用初始状态作为参考坐标系来计算导波模态的相速度，因此式（6）中Δl=0。通过分析首达波中同一过零相位点的时间偏移，即可试验确定导波模态的相速度变化。

控制恒定拉伸应力σ_x=5 MPa，当导波沿x方向传播时，不同环境温度下3个导波模态的相速度变化如图8所示。不难看出，试验与数值结果吻合较好，随着环境温度增加呈现近似线性变化，最大相对误差为7.1%。控制恒定环境温度T_u=T_b=40℃及单轴拉伸应力σ_x=5 MPa，不同传播角度下3个导波模态的相速度变化如图9所示。可以发现，试验与数值结果的相速度变化趋势基本保持一致，最大相对误差仅为3.4%。考虑到压电陶瓷片的耦合效果差异，材料均匀性等因素的影响，可以验证温度-应力耦合作用的频散分析模型具有较好的准确性和可靠性。

3 数值结果分析

用COMSOL Multiphysics有限元软件对不同温度、应力和导波传播方向的频散分析模型进行耦合求解，分析不同温度-应力耦合作用下2 mm厚HDPE平板的频散曲线分布和相速度变化。

3.1 频散曲线

通过位移波结构进行模态追踪，可以绘制HDPE平板的相速度频散曲线。以环境温度T_u=T_b=40℃和双轴应力σ_x=5 MPa，σ_y=3 MPa耦合作用为例，给出了不同传播方向HDPE平板的相速度频散曲线，如图10和图11所示。此外，依据波结构相对板厚度中心的分布，将频散曲线划分为实线代表的对称模态和虚线代表的反对称模态。

对比图10和图11可见，当θ=0°时，Lamb和SH模态的频散曲线在模态邻近区域②③④内彼此交叉且互不影响。然而，当θ=45°时，模态邻近区域②③④内Lamb和SH模态的频散曲线会在原本交叉点处彼此偏离。以模态邻近区域②为例进行局部放大并绘制相邻标记点对应的位移波结构。可以发现，当θ=0°时，Lamb模态只存在两个方向的位移分量，即沿着导波传播方向的纵向位移u和与板表面垂直的离面位移w，而SH模态只存在一个垂直导波传播方向的面内位移v，此时Lamb和SH模态是相互解耦的。然而当θ=45°时，Lamb和SH模态的波结构在3个方向的位移分量都不为零，此时Lamb和SH模态间的耦合作用会导致频散曲线在模态邻近区域彼此排斥，从而改变导波模态的频散曲线走向。

值得一提的是，该现象只会发生在Lamb和SH的对称模态之间或者反对称模态之间，所以Lamb-S₀与SH₁模态的频散曲线在模态邻近区域①内不受模态耦合作用影响。

3.2 相速度变化

通过对比相速度频散曲线，定量分析不同导波模态的相速度变化规律，可以为导波环境补偿技术的开发提供数据支撑。相较于高阶模态，低阶导波模态具有易于激发，模态干扰少，信号处理难度低等优势，目前被广泛应用于板壳结构的无损检测和结构健康监测领域。由于篇幅限制，仅展示HDPE平板中低阶导波模态Lamb-A₀、SH₀和Lamb-S₀的相速度变化曲线。

图12为双轴应力σ_x=5 MPa，σ_y=3 MPa作用下，不同环境温度低阶导波模态的相速度变化规律。此时，导波沿着x轴方向传播，即θ=45°。可以发现，SH₀模态的相速度变化不随频率改变，呈现非频散特性。相比之下，其他导波模态在不同频率下的相速度变化会存在差异。其中，Lamb-A₀模态在初始低频范围内的相速度变化较小，对该案例中环境应力和温度的耦合影响并不敏感。Lamb-S₀模态在320~350 kHz范围内的相速度变化最为明显，但随着频率增加会逐渐减小并趋于常数。

值得注意的是，降温变化对导波模态相速度的影响明显大于升温变化。从图12（b）中可以发现，在相同应力状态和变温间隔下，环境温度从25℃升温至40℃引起的SH₀模态相速度变化为-89.6 m/s，而降温至10℃引起的相速度变化仅为64.3 m/s。

图13为环境温度T_u=T_b=40℃和双轴应力σ_x=5 MPa，σ_y=3 MPa耦合作用下，不同传播角度低阶导波模态的相速度变化规律。可以发现，传播平面内的不均匀应力会导致相速度变化呈现角度依赖性。但对于Lamb-A₀模态，特定频率16.8 kHz下的相速度变化却与传播角度无关。其中，沿非主应力方向传播的Lamb-S₀和SH₀模态只绘制了500 kHz前的相速度变化曲线。这是由于模态耦合作用导致两者的频散曲线走向在该频率处发生变化。

3.3 敏感性分析

为了描述不同频率下导波模态相速度对环境温度和结构应力的敏感程度，引入温度敏感因子S_T和应力敏感因子S_σ，定义如下：

式中，ε_T为温度变化引起的热应变；ε_σ为结构应力引起的应变。

图14为单轴拉伸应力下，应力敏感因子分布和HDPE平板相速度频散曲线的叠加图。此时，导波传播方向与单轴应力方向平行。可以发现，截止频率附近的高阶Lamb模态具有很强的应力敏感性，而Lamb-A₀模态仅在低频范围0~10 kHz对结构应力敏感。

图15为均匀升温变化下，温度敏感因子分布与HDPE平板相速度频散曲线的叠加图。可以发现，高阶Lamb和SH模态在截止频率附近的温度敏感性较强。相比之下，Lamb-A₀、SH₀和0~200 kHz范围内的Lamb-S₀模态对温度变化的敏感性较弱。

对比图14和图15可以发现，相同应变下温度变化对导波模态相速度的影响大于结构应力。当f=200 kHz时，SH₀模态的温度敏感因子为3.9×10^-5，而应力敏感因子仅为3.0×10^-6。值得一提的是，SH₀模态和中高频范围大于10 kHz的Lamb-A₀模态对温度变化和结构应力的敏感性都很低，作为激发模态可以降低环境因素带来的信号干扰，从而提高导波损伤定位技术的可靠性。

4 结论

（1）在单轴应力加载下，不同温度和导波传播方向的试验数据与数值计算结果的最大相对误差仅为7.1%，验证了该频散分析模型的正确性。

（2）在均匀温度变化下，导波传播平面内的不均匀应力状态会使HDPE平板呈现“各向异性”。当导波沿着非主应力方向传播时，所有模态的波结构在三个方向上的位移分量都不为零。此时，Lamb和SH模态相互耦合，会导致其频散曲线在原本的交叉点处以高局部曲率彼此偏离。

（3）导波模态的相速度变化与温度-应力耦合条件、频率和传播方向有关。其中，SH₀模态的相速度变化不随频率改变，可极大程度降低导波信号的分析和后处理难度，而其他导波模态的相速度变化随着频率增加会趋于常数。

（4）相同应变下，温度变化对导波模态相速度的影响明显大于结构应力。分别引入温度和应力敏感因子来表征不同频率下导波模态相速度对环境温度和结构应力的敏感程度，可以发现，SH₀模态和中高频范围大于10 kHz的Lamb-A₀模态对温度变化和结构应力的敏感性很弱，可以降低环境温度变化和结构应力对导波信号的干扰。

参考文献