基于压缩感知的快速Bregman地震数据重建方法

孙小东，李傲伟，秦宁，蒋润，王敬伊，赵亮，孙耀庭; SUN Xiaodong; LI Aowei; QIN Ning; JIANG Run; WANG Jingyi; ZHAO Liang; SUN Yaoting

引 en

基于压缩感知的快速Bregman地震数据重建方法

孙小东^1,2
，李傲伟^1,2
，秦宁³
，蒋润^1,2
，王敬伊^1,2
，赵亮^1,2
，孙耀庭⁴

1. 深层油气全国重点实验室（中国石油大学（华东）），山东青岛 266580； 2. 中国石油大学（华东）地球科学与技术学院，山东青岛 266580； 3. 中国石化胜利油田物探研究院，山东东营 257022； 4. 山东航空学院智能建造学院,山东滨州 256600；

Reconstruction of seismic data with fast Bregman based on compressed sensing

SUN Xiaodong^1,2
， LI Aowei^1,2
， QIN Ning³
， JIANG Run^1,2
， WANG Jingyi^1,2
， ZHAO Liang^1,2
， SUN Yaoting⁴

1. State Key Laboratory of Deep Oil and Gas, China University of Petroleum (East China), Qingdao 266580 , China； 2. School of Geosciences in China University of Petroleum (East China), Qingdao 266580 , China； 3. Geophysical Research Institute, Shengli Oilfield Branch Company, SINOPEC, Dongying 257022 , China； 4. School of Intelligent Construction, Shandong University of Aeronautics, Binzhou 256600 , China；

作者简介:

孙小东（1980-），男，副教授，博士，研究方向为地震波偏移成像和反演。E-mail: sunxd@upc.edu.cn。

通信作者:

李傲伟（2000-），男，硕士，研究方向为压缩感知地震数据重建与去噪。E-mail: z22010036@s.upc.edu.cn。

中图分类号:P 631.4

文献标识码:A

文章编号:1673-5005(2025)04-0062-07

DOI:10.3969/j.issn.1673-5005.2025.04.006

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出版信息

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摘要

受地面环境、设备及成本等因素的影响，野外采集的地震数据往往存在缺失道，快速有效地重建缺失地震数据十分重要。针对缺失道的地震数据，根据压缩感知理论，提出一种快速Bregman方法的地震数据重建方法，并采用多尺度、多方向曲波变换作为稀疏基。通过Bregman方法将求解L₁范数问题分解为一系列子问题，引入快速迭代收缩阈值方法（FISTA）高效、准确地求解子问题，从而实现对缺失数据的高质量重构。结果表明，基于压缩感知的快速Bregman方法可以对构造复杂的地震数据进行高效的重建，并且提高迭代计算的重建精度。对于缺失地震数据的重建，所提方法在效率和精度方面均高于LBM和FISTA方法。

Abstract

Due to factors such as ground environment, equipment limitations, and costs, seismic data collected in the field often suffer from missing traces. Therefore, the rapid and effective reconstruction of missing seismic data is crucial. To address this issue, we propose a seismic data reconstruction method based on compressed sensing theory, utilizing a fast Bregman approach with multiscale and multidirectional curvelet transforms as the sparse basis. The Bregman method decomposes the solution of the L₁-norm minimization problem into a series of subproblems, which are efficiently and accurately solved using the fast iterative shrinkage-thresholding algorithm (FISTA), thereby achieving high-quality reconstruction of missing data. Experimental results demonstrate that the fast Bregman method based on compressed sensing can efficiently reconstruct complex synthetic seismic data and enhance the accuracy of iterative computations. Complared to LBM and FISTA methods, the proposed method achieves superior performance in both reconstruction efficiency and accuracy.

关键词

地震数据重建；压缩感知；快速Bregman方法；快速迭代收缩阈值；曲波变换

Keywords

seismic data reconstruction ； compressed sensing ； fast Bregman method ； fast iterative shrinkage thresholding algorithm ； curvelet transform

随着油气勘探工作不断深入，“两宽一高”三维反射地震勘探技术受到了业内的高度关注^[1-2]。但是，在数据采集过程中，地表障碍物的存在、地形条件、采集设备硬件等问题可能导致缺失道。大部分情况下，地震数据处理需要一个规则且密集的数据集输入，这对于获取高分辨率结果非常重要。地震数据重建是一种预处理的过程，即通过一定的方法对不完整采样下的缺失地震道进行插值处理，恢复出完整的或采样率更高的数据^[3-4]，这对于后续的偏移^[5-6]、表面多次波消除^[7]、振幅-偏移（AVO）分析^[8]等处理步骤非常重要。压缩感知理论作为一种可以潜在减少勘探时间和增加数据分辨率的地震数据采集新方式^[9]，它打破了信号采样中Nyquist采样定理的限制，可以在远低于Nyquist采样频率的条件下恢复地震数据。基于压缩感知理论的地震数据重建方法主要分两个部分：稀疏表示和迭代重建方法。地震数据首先进行稀疏表示，稀疏矩阵中非零值越少，其稀疏特性能力就越强。为此，许多学者利用不同变换如傅里叶变换^[10]、Curvelet变换^[11-12]、小波变换^[13]和Seislet变换^[14]，对地震数据的稀疏性进行了研究。Herrmann等^[15]提出了基于曲波变换稀疏促进策略的地震数据重建技术，并取得了良好的效果。Bregman迭代方法可以用于处理各种类型的优化问题，被成功应用于图像分析^[16]领域。该方法在压缩感知领域求解L₁最小范数的最优化问题时表现出色，为地震数据重建提供了有效途径。Bregman算法需要通过求解一系列子问题来逼近原始问题的最优解，每个子问题的求解速度会影响整体的迭代速度。随后，研究人员提出了许多加速迭代的方法，其中一种为线性Bregman方法（LBM），它通过只阈值化下一次的梯度项系数加速收敛，提高迭代速度，但在每一次迭代过程中，由于部分未阈值化的系数参与重建，因此会导致结果的准确性下降^[17]。因此，一些学者尝试将线性Bregman迭代方法与其他迭代方法相结合，提高地震数据的重建精度，白兰淑等^[18]综合了迭代收缩阈值方法（ISTA）方法与线性Bregman方法的优点，加快了迭代初期的收敛速度，减弱迭代后期噪声干扰的影响，使后期迭代精度提高。由于只采用普通线性Bregman方法及传统的线性阈值公式，因此重建精度和计算效率仍受到一定限制。庞洋等^[19]将加速Bregman方法与ISTA方法结合，采用指数阈值参数公式，相较于传统联合方法，进一步提高了计算速度；第二种是以Bregman迭代算法为基础，结合不动点延续算法（FPC）的一种新Bregman迭代框架^[20]，Wang等^[21]利用离散正交Coiflets和Symlets小波变换使地震数据稀疏化，采用FPC与Bregman迭代方法联合求解L₁范数最小化问题；第三种是由Goldstein和Osher提出来的分裂Bregman方法^[22]，用于解决图像去噪和医学成像的压缩感知问题。随后，郭萌等^[23]提出了一种基于双重Bregman地震数据重建方法，它的外部迭代采用FPC迭代框架用于地震数据重构，内部迭代使用分裂Bregman迭代去噪方法来进一步提高信号的恢复效果。受到Beck和Teboulle^[24]中引入的快速迭代收缩阈值方法（FISTA）的启发，笔者提出一个基于压缩感知的快速Bregman地震数据重建方法。在压缩感知数据恢复框架中，使用曲波变换作为促进稀疏性的变换。然后利用Bregman方法将L₁问题分解为一系列子问题，简化计算，采用FISTA快速求解子问题，实现对缺失地震数据的高精度恢复。
1 重建方法原理
1.1 压缩感知理论
基于压缩感知重建地震数据的问题可以转化为求解以下数学方程的问题：

y = Φ x .

(1)

式中，y为实际测量的数据；x为完整的地震数据；Φ为观测矩阵，也称为采样矩阵或采样算子，它将高维地震数据投影到低维空间中，以便于计算。
原始地震数据通常不满足稀疏性条件，需要使用稀疏变换进行稀疏表示。完整的地震数据可以进一步表示为

x = ψ^{T} s .

(2)

式中，s为稀疏变换域中的地震数据的系数；ψ为稀疏变换。将方程（2）代入式（1）得到

y = Φ ψ ψ^{T} s = A s .

(3)

式中，A=Φψ^T为传感矩阵。利用压缩感知理论可以将求解等式（3）转化为如下问题：

\underset{s}{m i n} ‖ s ‖_{0}, s. t. A s = y .

(4)

式中，||·||₀为L₀范数，即数据的非零个数。L₀范数的求解比较困难，将L₀范数最优化问题转化为L₁范数的最优化问题：

\underset{s}{m i n} ‖ s ‖_{1}, s. t. A s = y .

(5)

式中，||·||₁为L₁范数。在压缩感知理论中，稀疏系数的值s可以通过求解L₁范数的最优解来获得。然后，式（5）可以转换为

\underset{s}{m i n} ‖ s ‖_{1} + \frac{μ}{2} ‖ s ‖_{2}^{2}, s. t. \frac{1}{2} ‖ A s - y ‖_{2}^{2} ⩽ σ^{2} .

(6)

式中，μ为惩罚参数，它决定L₁项与L₂项之间的权重；σ为设定的迭代停止参数。通过求解稀疏系数s代入式（2）可求得完整的地震数据。
1.2 曲波变换
图1（a）为含有256道，每道含有500个采样点，时间采样率为4 ms的合成地震数据，图1（b）、（c）和（d）为傅里叶变换域、小波变换域和曲波变换域。曲波变换是一种多尺度、多方向的数学变换，它有效地弥补了傅里叶变换和小波变换的不足，能够更好地对地震数据进行稀疏表示，因此笔者利用地震数据在曲波域的稀疏特性，重构高信噪比地震数据。二维曲波变换可以表示为

s = ⟨x, C_{m}⟩ = \sum_{t_{1}, t_{2}} x [t_{1}, t_{2}] C_{m} [t_{1}, t_{2}] .

(7)

式中，s与式（2）中的系数相同，在这里表示曲波系数；〈x，C_m〉表示x和C_m的内积运算；C_m表示曲波基函数；m=（j，h，l），其中j，h，l分别为尺度、方向、位置参数；t₁、t₂为地震数据x的时间窗，则地震数据可以用曲波系数和基函数表示为

x = \sum_{m} ⟨x, C_{m}⟩ C_{m} = \sum_{m} s C_{m} .

(8)

将式（2）中的ψ域选取为曲波域，则式（8）与式（2）相对应，带入式（1）可以得到

y = Φ C^{T} s = A s .

(9)

图1 不同稀疏变换
Fig.1 Different sparse transformations
1.3 快速Bregman迭代地震数据重建方法
Bregman迭代算法不是一次求解式（6），而是简化成一系列无约束子问题，使得子问题的每个解为s_k，k=1，2，3，···，其中子问题序列如下：

s_{k + 1} = \underset{s}{m i n} μ D_{J}^{y_{k}} (s, s_{k}) + \frac{1}{2} ‖ A s - y ‖_{2}^{2} .

(10)

式中， $D_{J}^{y_{k}} (s ， s_{k}) = J （ s ） - J (s_{k}) - ⟨y_{k} ， s - s_{k}⟩$ ；D_J（·，·）表示与J（·）相关的Bregman距离；J（s）=||s||₁表示凸函数；〈y_k，s-s_k〉表示y_k和s-s_k的内积运算；y_k为凸函数J在s_k处的次微分，Bregman迭代方法可以表示为

\{\begin{matrix} s_{k + 1} = \underset{s}{m i n} μ ‖ s ‖_{1} + \frac{1}{2} {‖A s - y_{k}‖}_{2}^{2}, \\ y_{k + 1} = y_{k} + y - A s_{k} . \end{matrix}

(11)

Bregman迭代方法的优势在于，公式（11）中的惩罚参数μ为常数，因此确保能够快速迭代，在每次迭代中，通过求解一系列简化的子问题来更新解向量，从而逐步优化目标函数，直到收敛到满足式（6），每一个子问题能够通过迭代收缩阈值方法（ISTA）求解，如下所示：

s_{k + 1} = T_{λ d} [s_{k} - 2 d A^{T} (A s_{k} - y_{k})] .

(12)

其中
$T_{λ} (s) = \{\begin{matrix} s - λ, s ⩾ λ \\ 0, | s | < λ \\ s + λ, s ⩽ λ \end{matrix}$
式中，d为合适步长，能保证收敛；T_λ为软阈值算子; λ为阈值因子。
软阈值和硬阈值是两种常用的阈值函数。软阈值相对于硬阈值具有平滑信号的特点，避免了硬阈值的截断效应，能够更好地保持信号的光滑性。为了解决硬阈值引起的抖动效果，本文选择了软阈值函数进行处理。
为了提高公式（12）的求解效率，Beck等^[24]采用了梯度加速策略，使ISTA算法的收敛速度从 $o (\frac{1}{k^{}})$ 变成 $o (\frac{1}{k^{2}})$ 。FISTA与ISTA算法相比，仅仅多了Nesterov加速步骤，以极少的额外计算量大幅提高了算法的收敛速度。本文中利用FISTA方法作为式（11）的迭代算子，并在Bregman迭代框架下求解目标函数（式（6）），可得如下方程：

y_{k + 1} = y_{k} + y - A s_{k} .

(13)

\{\begin{matrix} q_{k} = T_{λ d} [s_{k} - d_{k} A^{T} (A s_{k} - y_{k})], \\ d_{k + 1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 d_{k}^{2}}}{2}, \\ s_{k + 1} = q_{k} + (\frac{d_{k} - 1}{d_{k + 1}}) (q_{k} - q_{k - 1}) . \end{matrix}

(14)

式中，q_k为中间变量。最终的重建结果为

\hat{x} = C^{T} s_{k + 1} .

(15)

式中， $\hat{x}$ 为重建的地震数据。需要注意的是，在加速Bregman迭代公式（13）和（14）中，数据空间y_k和模型空间s_k是两套并行的迭代体系，而ISTA和FISTA方法只有一套独立的迭代方程，因此加速Bregman方法与ISTA以及FISTA存在本质的不同。
基于曲波变换的快速Bregman迭代地震数据重建方法实现步骤如下。
（1）输入缺失的地震数据y；
（2）利用曲波变换对数据进行分解；
（3）初始化变量。阈值参数λ_max=||Cy||_∞＞λ₁＞λ₂＞···＞0，误差σ，q₀=y₀=s₀=0，k=0，d₁=1；最大迭代次数L，惩罚参数μ；
（4）迭代开始。
循环：判断 ${‖A s_{k} - y_{k}‖}_{2} > 0.001 {‖A s_{1} - y_{1}‖}_{2} ， k ⩽ L$ ；
$\begin{matrix} q_{k} = T_{λ d} [s_{k} - d_{k} A^{T} (A s_{k} - y_{k})], \\ d_{k + 1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 d_{k}^{2}}}{2}, \\ y_{k + 1} = y_{k} + y - A s_{k}, \\ s_{k + 1} = q_{k} + (\frac{d_{k} - 1}{d_{k + 1}}) (q_{k} - q_{k - 1}) . \end{matrix}$
（5）执行k=k+1；
（6）输出s_k₊₁，根据x=C^Ts_k₊₁计算重建的地震数据。
上述算法在迭代过程中，阈值因子可能会随着迭代线性或指数下降，以减少截断效应。线性阈值模型一般设置为

λ_{k} = λ_{m a x} - \frac{k - 1}{N - 1} (λ_{m a x} - λ_{m i n}) .

(16)

指数阈值模型^[25]一般设置为

λ_{k} = λ_{m a x} \frac{λ_{m i n} k - 1}{λ_{m a x} N - 1} .

(17)

式中，N为最大迭代次数；λ_max和λ_min分别为设置的最大和最小阈值。指数阈值模型相比线性阈值模型在保证求解精度的同时收敛速度更快，节省计算工作量，故本文中阈值参数选择为指数阈值参数。
2 理论模型实验及方法对比
2.1 性能评价指标
为了比较各方法的重建效果，本文中引入信噪比R_SN评价指标^[26]，其定义如下：

R_{S N} = 10 l g \frac{‖ x ‖_{2}^{2}}{‖ \hat{x} - x ‖_{2}^{2}}

(18)

式中，x为完整数据模型； $\hat{x}$ 为重建地震数据，显然R_SN值越大说明重建效果越好。
2.2 复杂构造模型测试
本文中所用的复杂地质构造模型如图2（a），该模型为采用有限差分法模拟的单炮记录，共600道接收，时间采样个数为3000，时间采样率为1 ms。图2（b）为随机缺失50%的数据，图2（c）和图2（d）分别为其对应的频谱图。选用LBM方法、FISTA方法和本文中提出方法进行地震数据重建，得到如图3所示的重建结果及对应的频谱图。
图3（a）为使用LBM方法重建的地震数据。可以观察到，浅层的强能量轴和地质构造比较复杂的数据的重建效果较差。从图3（d）的频谱图中可以看出，由于数据缺失分散的能量没有被很好地集中在低波数部分，分散在高波数的能量依然很多。
图3（b）展示了使用FISTA方法重建的地震数据。可以观察到，即使是浅层的强能量轴和地质构造较复杂的数据也能够较好地恢复出来。从图3（e）的频谱图中可以看出，部分能量得到了一定的恢复，但仍然有一部分能量分散在不同的波数成分中。
图3（c）为使用本文中提出的快速Bregman方法进行地震数据重建得到的结果。相较于前两种方法，本文中提出的方法在重建同相轴的连续性和光滑性方面有了很大的提高，能够准确恢复缺失道数较多的位置。特别是对于浅层的强能量轴和构造变化复杂的位置，重建效果较好。根据图3（f）的频谱图，可以看到由于数据缺失造成的假频现象已经得到很好的抑制，重建的能量较前两种方法更加集中。
从图4收敛速度对比可以看出，本文方法在30次迭代后就开始收敛，而其他方法需要50次才开始收敛，迭代60次才能达到与本文方法相当的重建效果。因此，在复杂地震数据处理中，本文方法在较少的迭代次数下能有效地对缺失道进行重建，提高了地震记录的信噪比。
图2 复杂构造地震数据及频谱
Fig.2 Complex structure seismic data and spectrum
图3 三种方法复杂模型重建结果及频谱
Fig.3 Results and spectrum of complex data reconstruction by three methods
图4 LBM、FISTA和本文方法复杂数据的重构信噪比及收敛速度对比
Fig.4 Comparison of signal to noise ratio and convergence speed for LBM, FISTA and the proposed method on complex data
3 实际资料测试
为了进一步验证本文方法的有效性和实用性，对某陆上二维实际资料进行了试处理。图5（a）为含有335道，每道含有1000个采样点，采样间隔为4 ms的单炮记录。由于原始地震数据存在较强的随机噪声，并且在局部地段存在坏道，缺失地震道较多，如果不对地震道进行良好的重构，将对后续的处理产生影响。应用本文中提出的方法对该数据进行处理，得到如图5（b）所示的地震剖面。可以观察到经过恢复后，各缺失道和坏道均得到了很好的恢复，地震同相轴光滑且连续。
图5 实际地震记录测试结果
Fig.5 Test results of real seismic data
4 结束语
本文中提出了一种基于压缩感知Curvelet域的快速Bregman地震数据重建方法。该方法在Bregman迭代算法基础上，通过引入FISTA迭代方法求解一系列子问题进行迭代重建缺失地震数据，提高了迭代计算的速度和重建精度，过程中采用软阈值公式和指数阈值模型。由模型数据重建结果分析可以看出，本文方法能够快速有效的重建缺失地震数据，并且重建精度高于LBM和FISTA方法。在实际地震资料处理中也得到了较好的重建效果，进一步体现了本文方法具有较强的适应性。
参考文献
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基本信息

中图分类号: P 631.4
文献标识码: A
DOI: 10.3969/j.issn.1673-5005.2025.04.006
文章编号: 1673-5005(2025)04-0062-07

基金信息

中央高校基本科研业务费专项(24CX02010A)；
山东省泰山产业领军人才课题(tscx202312059)；
山东省自然科学基金项目（ZR2021MD056）；

引用信息

孙小东,李傲伟,秦宁,等.基于压缩感知的快速Bregman地震数据重建方法[J]. 中国石油大学学报(自然科学版)，2025,49（4）：62-68.

SUN Xiaodong, LI Aowei, QIN Ning, et al. Reconstruction of seismic data with fast Bregman based on compressed sensing[J]. Journal of China University of Petroleum (Edition of Natural Science) ，2025,49（4）：62-68.

稿件历史

收稿日期: 2024-10-27

参考文献

[1] 林腾飞,窦立荣,甘利灯.地震勘探技术发展历程及展望[J].世界石油工业,2023,30(1):57-69.LIN Tengfei,DOU Lirong,GAN Lideng.Development history and prospect of seismic exploration technology[J].World Petroleum Industry,2023,30(1):57-69.
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基于压缩感知的快速Bregman地震数据重建方法

Reconstruction of seismic data with fast Bregman based on compressed sensing

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 重建方法原理

1.1 压缩感知理论

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 曲波变换

(7)

(8)

(9)

1.3 快速Bregman迭代地震数据重建方法

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

2 理论模型实验及方法对比

2.1 性能评价指标

(18)

2.2 复杂构造模型测试

3 实际资料测试

4 结束语

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

稿件历史

参考文献