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基于三维重正化近似方法的等效渗透率计算

魏帅帅¹
，沈金松¹
，李振苓²
，邸淑华²
，杨午阳³
，闫国亮³

1. 中国石油大学(北京)地球物理学院,北京 102249； 2. 中油测井华北事业部,陕西西安 710077； 3. 中石油勘探开发研究院西北分院,甘肃兰州 730020；

Calculation of effective permeability based on approximation of 3D renormalization

WEI Shuaishuai¹
， SHEN Jinsong¹
， LI Zhenling²
， DI Shuhua²
， YANG Wuyang³
， YAN Guoliang³

1. College of Geophysics in China University of Petroleum (Beijing), Beijing 102249 , China； 2. Huabei Division of China Petroleum Logging Corporation, Xi'an 710077 , China； 3. NorthWest Division of Exploration and Production Research Institute, CNPC, Lanzhou 730020 , China；

作者简介:

魏帅帅(1989-),男,博士研究生,研究方向为多孔介质的孔隙结构、渗透率和饱和度。E-mail:shuaishuai_wei@163. com。

通讯作者:

沈金松(1964-),男,研究员,博士,博士生导师,研究方向为地球物理测井和电磁法勘探理论模拟与应用。E-mail:shenjinsong-cup@163.com。

中图分类号:P3133

文献标识码:A

文章编号:1673-5005(2020)01-0034-11

DOI:10.3969/j.issn.1673-5005.2020.01.004

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参考文献
出版信息

参考文献 1

BEAR J.Dynamics of fluids in porous media[M].New York:Dover Publications,1972.

查找原文

参考文献 2

李冬冬,张艳玉,孙晓飞,等.考虑表面扩散的实际状态页岩气表观渗透率新模型[J].中国石油大学学报(自然科学版),2018,42(4):82-90.LI Dongdong,ZHANG Yanyu,SUN Xiaofei,et al.A new model for assessing apparent permeability of shale gas at real gas condition considering surface diffusion [J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natu-ral Science),2018,42(4):82-90.

查找原文

参考文献 3

KING P.The use of renormalization for calculating effec-tive permeability [J].Transport in Porous Media,1989,4(1):37-58.

查找原文

参考文献 4

SHABRO V,TORRES-VERD N C,JAVADPOUR F,et al.Finite-difference approximation for fluid-flow simula-tion and calculation of permeability in porous media [J].Transport in Porous Media,2012,94(3):775-793.

查找原文

参考文献 5

ALPAK F O,GRAY F,SAXENA N,et al.A distributed parallel multiple-relaxation-time lattice Boltzmann method on general-purpose graphics processing units for the rapid and scalable computation of absolute permeability from high-resolution 3D micro-CT images [J].Computational Geosciences,2018,22(3):815-832.

查找原文

参考文献 6

张磊,姚军,孙海,等.利用格子Boltzmann方法计算页岩渗透率[J].中国石油大学学报(自然科学版),2014,38(1):87-91.ZHANG Lei,YAO Jun,SUN Hai,et al.Permeability calculation in shale using lattice Boltzmann method[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natu-ral Science),2014,38(1):87-91.

查找原文

参考文献 7

FORMAGGIA L,SCOTTI A,SOTTOCASA F.Analysis of a mimetic finite difference approximation of flows in fractured porous media[J].ESAIM:Mathematical Mod-elling and Numerical Analysis,2018,52(2):595-630.

查找原文

参考文献 8

RAOOF A,HASSANIZADEH S M.A new method for generating pore-network models of porous media [J].Transport in Porous Media,2010,81(3):391-407.

查找原文

参考文献 9

FLANNERY B P,DECKMAN H W,ROBERGE W G,et al.Three-dimensional X-ray microtomography [J].Sci-ence,1987,237(4821):1439-1444.

查找原文

参考文献 10

ROTHMAN D H.Cellular-automaton fluids:a model for flow in porous media [J].Geophysics,1988,53(4):509-518.

查找原文

参考文献 11

BRYANT S L,KING P R,MELLOR D W.Network model evaluation of permeability and spatial correlation in a real random sphere packing [J].Transport in Por-ous Media,1993,11(1):53-70.

查找原文

参考文献 12

SHABRO V,JAVADPOUR F,TORRES-VERD N C.A generalized finite-difference diffusive-advective(FDDA)model for gas flow in micro-and nano-porous media [J].World Journal of Engineering,2009,6(3):7-15.

查找原文

参考文献 13

KADANOFF L P.Scaling laws for Ising models near Tc [J].Physics Physique Fizika,1966,2(6):263-272.

查找原文

参考文献 14

DONG H.Micro-CT imaging and pore network extrac-tion [D].London:Department of Earth Science and En-gineering,Imperial College,2007.

查找原文

参考文献 15

HILFER R.Local-porosity theory for flow in porous media [J].Physical Review B,1992,45(13):7115.

查找原文

参考文献 16

BOGER F,FEDER J,SSANG T J,et al.Microstruc-tural sensitivity of local porosity distributions [J].Phys-ica A:Statistical Mechanics and its Applications,1992,187(1/2):55-70.

查找原文

参考文献 17

ISCAN A,KOK M,BAGCI A.Permeability reduction due to formation damage by drilling fluids [J].Energy Sources,Part A,2007,29(9):851-859.

查找原文

参考文献 18

FAUZI U,HOERDT A,NEUBAUER F.Influence of coordination number and percolation probability on rock permeability estimation [J].Geophysical Research Let-ters,2002,29(8):78.

查找原文

参考文献 19

KING P R.The use of renormalization for calculating ef-fective permeability [J].Transport in Porous Media,1989,4(1):37-58.

查找原文

参考文献 20

YEO I W,ZIMMERMAN R W.Accuracy of the renor-malization method for computing effective conductivities of heterogeneous media [J].Transport in Porous Media,2001,45(1):129-138.

查找原文

参考文献 21

DYKHNE A.Conductivity of a two-dimensional two-phase system [J].Sov Phys JETP,1971,32(1):63-65.

查找原文

参考文献 22

KARIM M,KRABBENHOFT K.New renormalization schemes for conductivity upscaling in heterogeneous media [J].Transport in Porous Media,2010,85(3):677-690.

查找原文

参考文献 23

MILTON G W.The theory of composites [ M].Cam-bridge:Cambridge University Press,2002:77-85.

查找原文

参考文献 24

TORQUATO S.Random heterogeneous materials:mi-crostructure and macroscopic properties [ M].New-York:Springer Science &Business Media,2013.

查找原文

参考文献 25

TORQUATO S,KIM I C,CULE D.Effective conduc-tivity,dielectric constant,and diffusion coefficient of digitized composite media via first-passage-time equa-tions [J].Journal of Applied Physics,1999,85(3):1560-1571.

查找原文

参考文献 26

GREEN C P,PATERSON L.Analytical three-dimen-sional renormalization for calculating effective permea-bilities [J].Transport in Porous Media,2007,68(2):237-248.

查找原文

参考文献 27

RUTH D,SUMAN R.The rale of microscopic cross flow in idealized porous media [J].Transport in Porous Media,1992,7(2):103-125.

查找原文

参考文献 28

SUMAN R,RUTH D.Formation factor and tortuosity of homogeneous porous media [J].Transport in Porous Media,1993,12(2):185-206.

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目录contents

摘要Abstract
关键词Keywords
1 表征岩样孔隙结构的CT图像及网格剖分)
2 基本剖分单元的等效渗透率计算
3 二维剖分网格块等效渗透率重正化计算的精确关系
4 三维介质网格剖分块的等效渗透率近似关系与重正化结果的刻度
4.1 三维介质重正化等效渗透率的近似计算关系
4.2 重正化等效渗透率计算结果的刻度
5 模拟结果分析及应用
5.1 二维和三维随机棋盘格的等效渗透率计算
5.2 简单理想多孔介质模型计算结果的比较
5.3 实际岩心孔隙结构CT成像数据的应用
6 结论
参考文献

摘要

基于二维重正化方法的近似关系推导出三维重正化的近似计算关系。首先,基于岩样孔隙结构CT图像进行网格剖分;其次,在每个剖分网格单元用等效介质模型计算其等效渗透率;再次,基于剖分单元的等效渗透率分布,综合应用二维电网络模型的解析关系与重正化方法导出三维介质的近似计算关系,并选用一个理想多孔介质模型及2块岩心样本CT成像数据进行测试。另外,用重正化渗透率近似方法对3块数字岩心进行等效渗透率计算,并与用格子玻尔兹曼得到的绝对渗透率进行对比。结果表明:重正化渗透率近似计算方法在简单模型上与理论值误差小于10％;对于砂岩岩样,与实验测试结果误差小于25％,而且计算结果显示出弱各向异性;重正化近似方法得到的等效渗透率计算结果均在可以接受的范围内。

Abstract

In this study, we derive the approximation of 3D renormalization based on that of 2D. First, we divide CT image into mesh grids according to the pore structure from samples. Next, effective permeabilities of each block are calculated from different equivalent medium models. Third, on the basis of the effective permeability of each grid cell, we apply the similarly analytic expression of the 2D electric network and the renormalization group formula for 2D CT image to derive the approximation equation of effective permeability in 3D media. The validity and accuracy of the proposed method are checked against known results of one idealized porous media models, which have analytic expressions and two rock samples which include both experimental permeability values and CT images. In addition, we apply the approximation of 3D renormalization to compute the effective permeabilities for three digital rocks from Imperial College London and then compare with absolute permeabilities calculated by the lattice Boltzmann method. Test results show that the relative errors deduced from the renormalization group method for simple models and the sandstone samples are within 10％ and 25％, repsectivley.The magnitudes in three directions show weak anisotropy,and the effective permeabilities calculated by the approximation of 3D renormalization are in an acceptable range.

关键词

孔隙结构； CT图像；储层渗透率；重正化方法；等效介质模型

Keywords

pore structure ； computer tomography image ； reservoir permeability ； renormalization group method ； model of effective medium

在油气业界,渗透率是勘探开发的重要参数之一。对于简单孔隙结构储层,目前已有多种实用的经验或统计关系计算渗透率^［1-2］,如弱非均质储层的简单粗化方法、扰动理论等。对于强非均质储层,也有微扰理论或等效介质理论^［3］以及有限差分或格子波尔兹曼等全域数值模拟方法^［4］或实空间重正化方法^［3］。就目前文献看,格子玻尔兹曼方法应用最为广泛^［5-6］,有限差分法也有应用^［7］。从对计算资源需求、效率和适应性分析,复杂孔隙介质的渗透率计算至今仍是一个难题^［8］。例如,以X射线像为基础的孔隙介质微观结构图像^［9］及相应高分辨率像的格子自动剖分模型^［10］、格子玻尔兹曼方法、网络模型^［11］等方法对孔隙的简单近似难以适应复杂孔隙储层,而全域剖分方法的计算效率无法适应实际应用^［12］。笔者基于二维重正化等效渗透率解析关系^［13］,推导一种三维孔隙介质等效渗透率的快速近似算法——重正化近似方法;基于King的实空间重正化方法,构造三维(3D)等效渗透率近似计算公式,对理想孔隙模型、数字岩心用三维重正化近似方法计算渗透率^［14］,并与格子玻尔兹曼方法的结果进行比较。
1 表征岩样孔隙结构的CT图像及网格剖分)
图1(a)给出了取自西北某油田的一个低孔隙度砂岩岩样的X-射线CT扫描成像的图像,它由200×200×200个像素单元构成。图中看到与均质砂岩孔隙结构不同,岩样的孔隙结构复杂,孔隙尺度变化较大,孔隙的几何形态差别较大。
图1 某岩样的X射线微扫描成像的三维图像及3个正交方向的切片
Fig.1 3D CT image of one core sample and crosssections in three orthogonal directions
鉴于该岩心取自低孔渗储层,孔隙结构以大纵横比的孔隙为主,因此表现出线状孔隙结构特点。图1(b)、(c)和(d)分别给出了该三维图像3个相互垂直的二维切片,从切片上可以看出该岩心的孔隙并不是很发育。考虑到计算机内存和计算速度,本文中没有直接采用单个像素点作为一个网格剖分单元,而是将图1(a)的三维图像进行100×100×100剖分,本文中的重正化计算过程均按这一剖分实现的。很显然,重新剖分后的图像降低了对孔隙结构的描述精度。
2 基本剖分单元的等效渗透率计算
为了便于分析与理解,先考虑二维孔隙介质的情况。假设某一研究区介质剖分成图2(a)所示的网格单元,整体剖分网格尺寸大小可以是某个待测试的实际露头剖面的尺寸,也可以与原始岩样的薄片或CT成像的有效区域大小一样,还可以是电或声成像测井的电导率或声波反射振幅图上的某个区域。相应地,剖分网格中每个剖分单元的渗透率可以用如下几种方式获取:对应于露头剖面,可以从剖分单元尺度的层段岩石样本通过实验测试得到;对于薄片、CT成像的图像或成像测井图像,需要根据图像提取孔隙结构,进而采用与孔隙结构相关的等效渗透率近似关系或数值模拟方法得到。鉴于岩样渗透率实验测试方法超出本文中所讨论的范围,只考虑从孔隙结构图像计算剖分单元等效渗透率的情况。
关于由薄片、CT成像的图像或成像测井图像提取孔隙结构和孔隙度的方法,本文中采用前人提出的局域孔隙度理论^［15-16］用于孔隙度与孔隙结构参数估计渗透率的关系,根据输入参数易获取及易实现两个方面,选择考虑孔隙比表面积和孔隙度的Kozeny-Carman模型,以及考虑颗粒直径和孔隙度的Berg模型,这两个模型中的孔隙度参数可由测井得到,颗粒直径和比表面积可由图像数据统计得到^［17］。对于剖分单元仍然显示出极端复杂孔隙结构的情况,需要针对该单元采用数值模拟方法计算等效渗透率^［12］。
对于剖分单元的局域孔隙提取、孔隙结构参数估计及等效渗透率计算,采用了Fauzi^［18］提出的局域孔隙度理论与两点相关函数结合的方法。Kozeny-Carman渗透率模型的关系为

k_{cell} = \frac{φ^{3}}{τ f S_{r}^{2}}

(1)

式中,k_cell为剖分单元等效渗透率,10^-3μm²;φ为剖分单元局域孔隙度;τ为孔隙弯曲度;f为孔隙形状因子;S_r为局域孔隙的比表面积。对于图像上可以识别和提取颗粒参数的情况,选用从岩石电性响应基本关系出发,建立岩电参数、颗粒直径与渗透率之间的综合响应方程,并将其作为剖分单元的渗透率计算公式

k_{cell} = \frac{d^{3} φ^{3 m}}{4 a m^{2}}

(2)

式中,d为相关岩石的颗粒直径，μm;φ为孔隙度;m为胶结指数;a为与颗粒堆积方式相关的参数。对磨圆度高和分选好的纯砂岩颗粒,取a=8/3,m=18
,方程(2)退化为

k_{clll} = 2.89 \times 10^{- 2} d^{2} φ^{5.4}

(3)

3 二维剖分网格块等效渗透率重正化计算的精确关系
为了便于分析与理解,先考虑二维重正化方法的情况。图2(a)给出了计算目标区域的原始渗透率分布,其目的是计算整个目标区域的等效渗透率。图2(b)显示了原始剖分网格块划分为4个不同的区域,下一步将4个块的等效渗透率进一步粗化或均匀化并赋值给图2(c)所示的新的粗网格,经过这一逐级粗化过程,即重正化过程最终得到整个目标区域的单个等效渗透率。
图2 剖分网格块的重正化
Fig.2 Renormalization process of partitioned blocks
本文中只以4个剖分网格块作为目标区域的原始块,导出等效渗透率的重正化计算关系。对于二维介质,导出关系时只考虑或是水平或是垂直的一个方向的流动。另外,实际目标区域通常远多于4个网格剖分单元,需要将4个网格剖分单元重正化为一个等效渗透率的过程重复很多次,直至得到目标区域的单个等效渗透率为止。而且,在每一步重正化之后,等效渗透率网格块数量会减少,但尺度会变得更大。各个网格块渗透率逐渐接近于整体区域的等效渗透率。
对于如图 2(c)所示的2×2=4个网格单元剖分块的等效渗透率计算,King［19基于电阻率网络模型给出的关系为

{\begin{matrix} k_{e x} = \frac{4 (k_{1} + k_{3}) (k_{2} + k_{4}) A}{(k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4}) A + B} \\ k_{e y} = \frac{4 (k_{1} + k_{2}) (k_{3} + k_{4}) A^{'}}{(k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4}) A^{'} + B^{'}} \end{matrix}

(4)

{\begin{matrix} A = [k_{1} k_{2} (k_{3} + k_{4}) + k_{3} k_{4} (k_{1} + k_{2})] \\ B = 3 (k_{1} + k_{2}) (k_{3} + k_{4}) \times (k_{1} + k_{3}) (k_{2} + k_{4}) \end{matrix}

(5)

{\begin{matrix} A^{'} = [k_{1} k_{3} (k_{2} + k_{4}) + k_{2} k_{4} (k_{1} + k_{3})] \\ B^{'} = 3 (k_{1} + k_{3}) (k_{2} + k_{4}) \times (k_{1} + k_{2}) (k_{3} + k_{4}) \end{matrix}

(6)

式中,4个网格单元的渗透率分别为k₁、k₂、k₃、k₄。
Yeo和Zimmermen指出上述解析关系是一个近似关系,且在特例情况下结果不正确^［20］。例如,当k₁=k₄,k₂=k₃时,若令k₂／k₁=r,则有

k_{e} = k_{e x} = k_{e y} = \frac{8 r (1 + r)}{(1 + 3 r) (3 + r)}

(7)

然而,Dykhne已证明,k_e／k₁= $\sqrt{r}$ ［21。很显然,当k₂／k₁=r→∞时,公式(7)得到k_e／k₁≈2.67与精确解不符。对照图3(a)的4个不同渗透率的剖分块,可以有图3(b)、(c)两种组合方式,以x方向渗透流为例,图3(b)类似于电阻网络的k₁、k₂串联及k₃、k₄串联,再并联;而图3(c)类似于电阻网络的k1,k₃并联及k₂、k₄并联,再串联。相应地,有如下等效渗透率计算关系。对应于图3(b)有

\begin{matrix} k_{L x} = μ_{a} [μ_{h} (k_{1}, k_{2}), μ_{h} (k_{3}, k_{4})] = \\ \frac{k_{1} k_{2} (k_{3} + k_{4}) + k_{3} k_{4} (k_{1} + k_{2})}{(k_{1} + k_{2}) (k_{3} + k_{4})} \end{matrix}

(8)

对应于图3(c)有

k_{U x} = μ_{h} [μ_{a} (k_{1}, k_{3}), μ_{a} (k_{2}, k_{4})] = \frac{(k_{1} + k_{3}) (k_{2} + k_{4})}{(k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4})}

(9)

前人已证明公式(8)和(9)为精确等效渗透率值的下限和上限,它们分别对应于4个单元的渗透率的调和平均和算术平均。更为精确的计算关系可以由上述上下限关系的几何平均^［22］得到

k_{e x} = \sqrt{k_{L x} k_{U x}} = {[\frac{(k_{1} + k_{3}) (k_{2} + k_{4})}{(k_{1} + k_{2}) (k_{3} + k_{4})}]}^{1 / 2} {(\frac{I_{2}}{I_{1}})}^{1 / 2}

(10)

其中
同理,将k₂和k₃相互交换得到k_ey。
图3 4个剖分单元渗透率计算的两种分离模式
Fig.3 Two splittings for permeability calculation of four blocks
4 三维介质网格剖分块的等效渗透率近似关系与重正化结果的刻度
至今对于三维介质网格剖分块的等效渗透率仍没有一个精确的计算关系,King^［19］给出的三维电阻网络等效计算方法只能通过解线性代数方程组的手段实现等效渗透率的计算。根据二维介质类似的分析思路推导三维孔隙介质等效渗透率计算的近似关系。
4.1 三维介质重正化等效渗透率的近似计算关系
基于二维网格剖分块的等效渗透率精确计算关系导出过程,导出三维介质网格剖分块的等效渗透率计算关系。仍然以最简单的2×2×2网格为例,参考图4(a)的三维原始网格剖分,仿照二维剖分的处理,图4(b)、(c)给出了 x 方向流体流动的两类分离模式。对应于图4(b)有

\begin{matrix} k_{L x} = μ_{a} [μ_{h} (k_{1}, k_{2}), μ_{h} (k_{3}, k_{4}), μ_{h} (k_{5}, k_{6}), μ_{h} (k_{7} \\ k_{8})] = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{4} k_{(2 j - 1)} k_{2 j} S_{(2 j - 1), 2 j} / \prod_{j = 1}^{4} (k_{(2 j - 1)} + k_{2 j}) \end{matrix}

(11)

其中
对应于图4(c)有

\begin{matrix} k_{U x} = μ_{h} [μ_{a} (k_{1}, k_{3}, k_{5}, k_{7}), μ_{a} (k_{2}, k_{4}, k_{6}, k_{8})] = \\ \frac{1}{2} (\sum_{j = 1}^{4} k_{2 j - 1} \sum_{j = 1}^{4} k_{2 j}) / \sum_{j = 1}^{8} k_{j} \end{matrix}

(12)

最后,剖分块的等效渗透率近似计算关系为上下限的几何平均^［22］

\begin{matrix} k_{e x} = \sqrt{k_{L x} k_{U x}} = \\ {[(\sum_{j = 1}^{4} k_{2 j - 1} \sum_{j = 1}^{4} k_{2 j}) / \prod_{j = 1}^{4} (k_{2 j - 1} + k_{2 j})]}^{1 / 2} {(\frac{J_{2}}{J_{1}})}^{1 / 2} \end{matrix}

(13)

其中
图4 三维介质8个单元渗透率计算的两种分离模式
Fig.4 Two splittings for permeability calculation of 3D model with eight blocks
公式(13)还可以改写成如下更易于数值计算的形式

k_{e x} = \frac{1}{2} {[\frac{(k_{1}^{- 1} + k_{2}^{- 1}) (k_{3}^{- 1} + k_{4}^{- 1}) (k_{5}^{- 1} + k_{6}^{- 1}) (k_{7}^{- 1} + k_{8}^{- 1})}{{(k_{1} + k_{3} + k_{5} + k_{7})}^{- 1} + {(k_{2} + k_{4} + k_{6} + k_{8})}^{- 1}}]}^{1 / 2}

(14)

值得注意的是,等效渗透率计算关系(13)在三维剖分网格块退化为二维的情况下,其结果与二维精确解一致。然而,通过验证发现公式(13)并非为三维剖分网格块的精确解。事实上,三维情况与二维相似,同样有k₁=k₃=k₅=k₇及k₂=k₄=k₆=k₈,由Keller,当k₁／k₂→∞时,ke=2 k1k2〖KF),而由公式(13)的近似关系得到ke=〖KF(k1k2〖KF)与k1／k2无关,这一极限情况证明公式(13)不是三维剖分网格块等效渗透率的精确计算关系^［23］。
4.2 重正化等效渗透率计算结果的刻度
需要注意的是,前文关于等效渗透率重正化计算关系均是基于类似电导网络的串并联关系导出的,而渗透率是一个强度性的特征参数,它与单元面或体的尺度无关,而导纳是一个广延性特征参数,它与单元面或体的尺度相关。因此用电导网络的串并联关系导出的重正化块的等效渗透率还必须用剖分块的面积或体积尺度进行刻度或换算^［19］。考虑一个目标区域的重正化过程,每个方向上由β
个小块组成,每个小块尺度为1个单位,对于前文的二维介质中精确关系的推导,本文中用2×2的网格作为基本剖分块,即每个方向上β=2。那么,某个指定方向上流体流过的截面积为β^d-1(d为计算空间的维数),剖分块的长度为β个单位。因此对于固定体积的流速和压力降,流量与压力变化的比值要用β^2-d
因子进行刻度,这就是将导纳计算关系的值转换为渗透率的刻度因子,即等效渗透率为上边计算得到的值乘以因子β^d-2。
对于二维介质,刻度因子为β⁰=1,即方程(4)给出了单个剖分单元的尺度为1个单位时二维介质中的等效渗透率。对于三维介质用2×2×2的立方体作为基本剖分块,长度的刻度因子为β=2
,前文导出的式(13)计算的等效渗透率必须除以β(β=2)以给出等效渗透率ke。
实际工作中得到的CT成像或成像测井图像数据的像素分辨率变化较大,根据式(10)或(13)计算得到的等效渗透率k_e还需要进行单元尺度的刻度。不失一般性,假设图像数据的剖分单元的尺度为α(μm),当将计算的等效渗透率换成实际岩心的等效渗透率时需要乘以刻度因子G=α²,即k_et=Gk_e。通常渗透率单位取10^-3 μm²。
5 模拟结果分析及应用
针对几块实际岩心的CT成像数据,利用重正化的近似关系计算等效渗透率,并与实际岩心渗透率测试结果进行对比。
5.1 二维和三维随机棋盘格的等效渗透率计算
二维和三维随机棋盘格介质一直被当作不同等效渗透率计算方法的测试对比范例。设有n×n的方块组成的剖分网格,基本网格单元的渗透率有两个值k₁、k₂,它们对应的两相介质的面积比例分别为φ₁、φ₂。若两相介质的比例φ₁=φ₂,则有前文的分析精确的等效渗透率 $k_{e} = \sqrt{k_{1} k_{2}}$ 对于任意比例,没有解析关系,但Milton和Torquato^［23-24］独立给出了相同的上限和下限

k_{L} ⩽ k_{e} ⩽ k_{U}

(15)

k_{L} = ⟨ k ⟩ - \frac{φ_{1} φ_{2} {(k_{1} - k_{2})}^{2}}{⟨ \tilde{k} ⟩ + y_{1}}, k_{U} = ⟨ k ⟩ - \frac{φ_{1} φ_{2} {(k_{1} - k_{2})}^{2}}{⟨ \tilde{k} ⟩ + y_{2}}

(16)

y_{1} = \frac{k_{2} (k_{1} + ⟨ k ⟩_{1})}{k_{2} + ⟨ k ⟩_{2}}, y_{2} = \frac{k_{1} (k_{2} + ⟨ k ⟩_{1})}{k_{1} + ⟨ k ⟩_{2}}

(17)

其中
式中,ζ₂为微结构参数。
对于三维随机棋盘格介质,同样由Milton和Torquato^［23-24］独立给出了上限和下限

{\begin{matrix} k_{L} = \frac{1 + (1 + 2 φ_{2}) β_{21} - 2 (φ_{1} ζ_{2} - φ_{2}) β_{21}^{2}}{1 + β_{21} φ_{1} - (2 φ_{1} ζ_{2} + φ_{2})} k_{1} \\ k_{U} = ⟨ k ⟩ - \frac{φ_{1} φ_{2} {(k_{1} - k_{2})}^{2}}{⟨ \tilde{k} ⟩ + 2 ⟨ k ⟩_{1}} \end{matrix}

(18)

其中
利用上边两个关系,通过变化φ₂和φ₁分别计算了二维和三维棋盘格介质的等效渗透率,并与前人计算结果进行了对比,如图5和6所示。图中结果表明,本文中的近似计算关系均处于公式(16)和公式(18)的上下界之间,而且〖WTBZ与Torquato等的和Green等数值模拟结果吻合较好,初步验证了近似计算关系的有效性^［25-26］。
图5 二维棋盘格介质不同方法计算的等效渗透率随相1介质体积分数的变化
Fig.5 Effective permeabilities of 2D checkerboards as a function ofφ₁ for different methods
图6 三维棋盘格介质不同方法计算的等效渗透率随相1介质体积分数的变化
Fig.6 Effective permeabilities of 3D checkerboards as a function ofφ₁for different methods
5.2 简单理想多孔介质模型计算结果的比较
图7(a) 所示的理想多孔介质模型流体只能沿z方向流动,且假设壁面无滑移,流体为不可压缩的单一流体,流体同时满足牛顿定律,流体的所有性质在时间和空间上是不变的。对于这种理想的多孔介质模型,本文中使用两种方法来计算等效渗透率,一种是由 Ruth等^［27-28］提出的平均渗透率计算方法,另外一种就是本文中提到的三维重正化近似方法。
Ruth等^［27］分析了理想多孔介质中的微观流动特性,并给出了平均渗透率的关系表达式

\frac{1}{k_{1}} = - \frac{1}{ξ Q_{1} L} \int_{A σ β} \frac{\partial {\vec{w}}_{1}}{\partial r_{j}} \cdot {\vec{n}}_{1} d A + \frac{1}{μ ξ Q_{1} L} \int_{A σ β} \vec{p} \cdot {\vec{n}}_{1} d A

(19)

其中
式中,k₁为沿宏观流动方向的等效渗透率;A_β₁为垂直流动方向截面上孔隙的面积;A₁为垂直流动方向模型的截面积;Q₁为沿宏观流动方向模型的流量;L为沿宏观流动方向模型的长度;A_σβ为模型中的骨架与孔隙的接触面积; ${\vec{w}}_{1}$ 为管道内部微观流体流速; $\vec{p}$ 为骨架和孔隙接触面的压力; ${\vec{n}}_{1}$ 为骨架和孔隙接触面处的法向量。
图7(a)中的多孔介质模型,由5段管道组成,每段管道的长度为l_i,i=1,2,3,4,5。将该模型剖分为64 μm×64 μm×64 μm的网格,所有管道的截面积均为5μm×5μm,y=13μm处为该管道的中心线。图7(b)展示了y=13μm时该模型的xoz面,图中彩色的网格代表孔隙,5段管道的长度分别为22、22、20、22和24μm。化简后公式(19)^［27］变为

k_{1} = \frac{9 a^{4} L}{16 A \sum_{i} l_{i}}

(20)

式中,k₁为沿某个方向的宏观渗透率;A为沿流动方向模型的横截面积;L为沿流动方向模型的长度;a为方形管道边长的一半;l_i为第i截流动管道长度。
图7 一个理性多孔介质模型
Fig.7 An idealized porous medium model
重正化近似计算方法使用的前提是得到模型的渗透率分布。图7(a)中的多孔介质模型剖分为64 μm×64 μm×64 μm的网格块。本文中用32 μm×32 μm×32 μm
的剖分单元将图7的多孔介质模型分为8部分,然后用公式(1)计算每一部分的等效渗透率,将该等效渗透率赋值给该部分的所有网格,这样可以得到理想多孔介质模型的渗透率分布。从图7(b)中可以看出,8个部分中只有3个部分是含有孔隙的,其余部分的渗透率值都为0。假设多孔介质在x、y、z方向上网格的个数分别用i、j、k来表示。当i取1∶32,y取1∶32,z取1∶32时,作为第1部分,其孔隙度φ=0.045,局域孔隙的比表面积S_r1=0036 μm^-1,孔隙弯曲度τ₁=2.9541,方形截面的形状因子f=1.78,因此第1部分的等效渗透率k.=0.0134 μm²,那么第1部分所有网格的渗透率为0.0134 μm²。当i取1∶32,y取1∶32,z取33∶64时,作为第2部分,其孔隙度φ₂=0.0084,局域孔隙的比表面积S_r2=0.0067 μm^-1,孔隙弯曲度τ₂=1,方形截面的形状因子f=1.78,因此第2部分的等效渗透率k₂=0.0074 μm²,那么第2部分所有网格的渗透率为0.0074 μm²。当i取33∶64,y取1∶32,z取33∶64时,作为第3部分,其孔隙度φ₃=0.0366,局域孔隙的比表面积S_r3=0.0293 μm^-1,孔隙弯曲度τ₃=3.6736,方形截面的形状因子f=1.78,因此第3部分的等效渗透率k₃=0.0087 μm²,那么第3部分所有网格的渗透率为0.0087μm²。模型其余的网格渗透率为0。最后利用重正化近似计算关系式计算得到模型的等效渗透率为0.0029 μm²。另外,由公式(20)得到的模型等效渗透率为0.0031 μm²。两种方法计算的理想多孔介质模型渗透率值基本一致。
5.3 实际岩心孔隙结构CT成像数据的应用
采用图1给出的8号岩心样本,共有CT-扫描图像的像素点数据200×200×200,像素分辨率为568 μm,孔隙度为816％,实验测试得到的渗透率为3423 μm²。为了节约运算内存和运算时间,将原始数据进行粗化,采用100×100×100剖分网格,利用本文中得到的重正化近似关系计算得到的等效渗透率分别为k_x=27×10^-3μm²,k_y=26×10^-3 μm²,
k_z=33×10^-3 μm₂,与实际测试结果相比,对应的模拟结果相对误差分别为ε_x=21.1%,ε_y=24.0%,
ε_z=3.6%。另外,需要注意的是,由于实验测试没有给出3个方向的渗透率测试结果,认为该岩心基本没有渗透率各向异性,根据 CT-扫描像的图像数据反映出近似于各向同性介质。
用图8给出的中高孔隙度和高渗透率的岩心样本,同样有CT-扫描图像的像素点数据200×200×200,像素分辨率为5.68 μm,孔隙度为20.42％,实验测试得到的渗透率为1955.75×10^-3 μm²
。采用100×100×100剖分网格及文中的重正化近似关系计算得到的等效渗透率分别为k_x=1845.2×10^-3μm²,
图8 22号岩心样本CT成像图及3个正交方向切片
Fig.8 CT image of No. 22 core sample and cross -sections in three orthogonal directions
为了进一步验证本文中方法对不同孔渗岩心的适应性,选用了帝国理工官网开源的3个数字岩心进行重正化近似计算。图9和图10中S₅和S₆砂岩的CT扫描图像的像素点数据均为300×300×300。前者的像素分辨率为5.997 μm,孔隙度为21.1％;后者的像素分辨率为5.1 μm
,孔隙度为24％。图11中C₂碳酸盐岩的CT扫描图像的像素点数据为300×300×300。像素分辨率为5.345 μm,孔隙度为16.8％。由于原始图像像素点数据过大,
本文中将原始图像数据进行抽稀,图9~11中的3个正交切片为抽稀后的图像,3块数字岩心抽稀后的图像分辨率分别为17.991、15.3和16.035 μm。本文中用重正化近似方法计算了3个数字岩心在3个正交方向上的等效渗透率,并与给出的格子玻尔兹曼计算的结果进行了对比,如表1所示。对比表明本文中方法对砂岩和碳酸盐岩数字岩心估计的渗透率均与格子玻尔兹曼计算结果处于同一量级。
表1 用重正化近似方法和格子玻尔兹曼方法计算的3块数字岩心渗透率结果
Table 1 Permeability results calculated by approximation of renormalization and lattice Boltzmann method for three digital rocks
图9 砂岩S₅的CT成像图及3个正交切片
Fig.9 CT image of S₅ sandstone and cross ctions in three orthogonal directions
图10 砂岩S₆的CT成像图及3个正交切片
Fig.10 CT image of S₆ sandstone and crosssections in three orthogonal directions
图11 碳酸盐岩C₂的CT成像图及3个正交切片
Fig.11 CT image of C₂ carbonate rock and cross sections in three orthogonal directions
6 结论
(1)基于随机棋盘格孔隙介质,采用本文中方法计算的等效渗透率与其他模拟方法及理论的上下限对比可知,本文的三维孔隙介质的重正化等效渗透率近似计算关系具有足够高的精度,对于复杂孔隙介质能给出合理的等效渗透率结果。
(2)与有限元及有限差分等数值模拟算法相比,该算法无需存储目标区全域剖分单元的系数矩阵,占用较少的计算机资源,也无需求解大型线性代数方程系数矩阵的逆,计算量小,在处理大区域目标体时效率更高。
(3)所提出的重正化近似计算方法对于所求解问题的最大尺寸仅受限于所能用的计算机时,而不受计算内存限制,而限于并非精确关系,导出的等效渗透率近似计算方法在孔隙结构极端复杂情况下计算误差将增大。
(4)若相邻网格剖分单元的介质渗透率对比度异常高,则等效渗透率的重正化近似计算关系不能给出正确的结果,因此该方法对于极低孔低渗储层,如泥页岩储层的等效渗透率估算是一个挑战。
参考文献
- [1] BEAR J.Dynamics of fluids in porous media[M].New York:Dover Publications,1972.
- [2] 李冬冬,张艳玉,孙晓飞,等.考虑表面扩散的实际状态页岩气表观渗透率新模型[J].中国石油大学学报(自然科学版),2018,42(4):82-90.LI Dongdong,ZHANG Yanyu,SUN Xiaofei,et al.A new model for assessing apparent permeability of shale gas at real gas condition considering surface diffusion [J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natu-ral Science),2018,42(4):82-90.
- [3] KING P.The use of renormalization for calculating effec-tive permeability [J].Transport in Porous Media,1989,4(1):37-58.
- [4] SHABRO V,TORRES-VERD N C,JAVADPOUR F,et al.Finite-difference approximation for fluid-flow simula-tion and calculation of permeability in porous media [J].Transport in Porous Media,2012,94(3):775-793.
- [5] ALPAK F O,GRAY F,SAXENA N,et al.A distributed parallel multiple-relaxation-time lattice Boltzmann method on general-purpose graphics processing units for the rapid and scalable computation of absolute permeability from high-resolution 3D micro-CT images [J].Computational Geosciences,2018,22(3):815-832.
- [6] 张磊,姚军,孙海,等.利用格子Boltzmann方法计算页岩渗透率[J].中国石油大学学报(自然科学版),2014,38(1):87-91.ZHANG Lei,YAO Jun,SUN Hai,et al.Permeability calculation in shale using lattice Boltzmann method[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natu-ral Science),2014,38(1):87-91.
- [7] FORMAGGIA L,SCOTTI A,SOTTOCASA F.Analysis of a mimetic finite difference approximation of flows in fractured porous media[J].ESAIM:Mathematical Mod-elling and Numerical Analysis,2018,52(2):595-630.
- [8] RAOOF A,HASSANIZADEH S M.A new method for generating pore-network models of porous media [J].Transport in Porous Media,2010,81(3):391-407.
- [9] FLANNERY B P,DECKMAN H W,ROBERGE W G,et al.Three-dimensional X-ray microtomography [J].Sci-ence,1987,237(4821):1439-1444.
- [10] ROTHMAN D H.Cellular-automaton fluids:a model for flow in porous media [J].Geophysics,1988,53(4):509-518.
- [11] BRYANT S L,KING P R,MELLOR D W.Network model evaluation of permeability and spatial correlation in a real random sphere packing [J].Transport in Por-ous Media,1993,11(1):53-70.
- [12] SHABRO V,JAVADPOUR F,TORRES-VERD N C.A generalized finite-difference diffusive-advective(FDDA)model for gas flow in micro-and nano-porous media [J].World Journal of Engineering,2009,6(3):7-15.
- [13] KADANOFF L P.Scaling laws for Ising models near Tc [J].Physics Physique Fizika,1966,2(6):263-272.
- [14] DONG H.Micro-CT imaging and pore network extrac-tion [D].London:Department of Earth Science and En-gineering,Imperial College,2007.
- [15] HILFER R.Local-porosity theory for flow in porous media [J].Physical Review B,1992,45(13):7115.
- [16] BOGER F,FEDER J,SSANG T J,et al.Microstruc-tural sensitivity of local porosity distributions [J].Phys-ica A:Statistical Mechanics and its Applications,1992,187(1/2):55-70.
- [17] ISCAN A,KOK M,BAGCI A.Permeability reduction due to formation damage by drilling fluids [J].Energy Sources,Part A,2007,29(9):851-859.
- [18] FAUZI U,HOERDT A,NEUBAUER F.Influence of coordination number and percolation probability on rock permeability estimation [J].Geophysical Research Let-ters,2002,29(8):78.
- [19] KING P R.The use of renormalization for calculating ef-fective permeability [J].Transport in Porous Media,1989,4(1):37-58.
- [20] YEO I W,ZIMMERMAN R W.Accuracy of the renor-malization method for computing effective conductivities of heterogeneous media [J].Transport in Porous Media,2001,45(1):129-138.
- [21] DYKHNE A.Conductivity of a two-dimensional two-phase system [J].Sov Phys JETP,1971,32(1):63-65.
- [22] KARIM M,KRABBENHOFT K.New renormalization schemes for conductivity upscaling in heterogeneous media [J].Transport in Porous Media,2010,85(3):677-690.
- [23] MILTON G W.The theory of composites [ M].Cam-bridge:Cambridge University Press,2002:77-85.
- [24] TORQUATO S.Random heterogeneous materials:mi-crostructure and macroscopic properties [ M].New-York:Springer Science &Business Media,2013.
- [25] TORQUATO S,KIM I C,CULE D.Effective conduc-tivity,dielectric constant,and diffusion coefficient of digitized composite media via first-passage-time equa-tions [J].Journal of Applied Physics,1999,85(3):1560-1571.
- [26] GREEN C P,PATERSON L.Analytical three-dimen-sional renormalization for calculating effective permea-bilities [J].Transport in Porous Media,2007,68(2):237-248.
- [27] RUTH D,SUMAN R.The rale of microscopic cross flow in idealized porous media [J].Transport in Porous Media,1992,7(2):103-125.
- [28] SUMAN R,RUTH D.Formation factor and tortuosity of homogeneous porous media [J].Transport in Porous Media,1993,12(2):185-206.

基本信息

中图分类号: P3133
文献标识码: A
DOI: 10.3969/j.issn.1673-5005.2020.01.004
文章编号: 1673-5005(2020)01-0034-11

基金信息

中国石油天然气集团公司科学研究与技术开发专项(2017D-3505)；
中国石油天然气股份有限公司重大科技专项(2017E-15)；

引用信息

魏帅帅,沈金松,李振苓,等.基于三维重正化近似方法的等效渗透率计算［J］.中国石油大学学报(自然科学版),2020,44(1):34-44.

WEI Shuaishuai, SHEN Jinsong, LI Zhenling, et al. Calculation of effective permeability based on approximation of 3D renormalization ［J］. Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science), 2020,44(1):34-44.

稿件历史

收稿日期: 2018-07-07

参考文献

[1] BEAR J.Dynamics of fluids in porous media[M].New York:Dover Publications,1972.
[2] 李冬冬,张艳玉,孙晓飞,等.考虑表面扩散的实际状态页岩气表观渗透率新模型[J].中国石油大学学报(自然科学版),2018,42(4):82-90.LI Dongdong,ZHANG Yanyu,SUN Xiaofei,et al.A new model for assessing apparent permeability of shale gas at real gas condition considering surface diffusion [J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natu-ral Science),2018,42(4):82-90.
[3] KING P.The use of renormalization for calculating effec-tive permeability [J].Transport in Porous Media,1989,4(1):37-58.
[4] SHABRO V,TORRES-VERD N C,JAVADPOUR F,et al.Finite-difference approximation for fluid-flow simula-tion and calculation of permeability in porous media [J].Transport in Porous Media,2012,94(3):775-793.
[5] ALPAK F O,GRAY F,SAXENA N,et al.A distributed parallel multiple-relaxation-time lattice Boltzmann method on general-purpose graphics processing units for the rapid and scalable computation of absolute permeability from high-resolution 3D micro-CT images [J].Computational Geosciences,2018,22(3):815-832.
[6] 张磊,姚军,孙海,等.利用格子Boltzmann方法计算页岩渗透率[J].中国石油大学学报(自然科学版),2014,38(1):87-91.ZHANG Lei,YAO Jun,SUN Hai,et al.Permeability calculation in shale using lattice Boltzmann method[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natu-ral Science),2014,38(1):87-91.
[7] FORMAGGIA L,SCOTTI A,SOTTOCASA F.Analysis of a mimetic finite difference approximation of flows in fractured porous media[J].ESAIM:Mathematical Mod-elling and Numerical Analysis,2018,52(2):595-630.
[8] RAOOF A,HASSANIZADEH S M.A new method for generating pore-network models of porous media [J].Transport in Porous Media,2010,81(3):391-407.
[9] FLANNERY B P,DECKMAN H W,ROBERGE W G,et al.Three-dimensional X-ray microtomography [J].Sci-ence,1987,237(4821):1439-1444.
[10] ROTHMAN D H.Cellular-automaton fluids:a model for flow in porous media [J].Geophysics,1988,53(4):509-518.
[11] BRYANT S L,KING P R,MELLOR D W.Network model evaluation of permeability and spatial correlation in a real random sphere packing [J].Transport in Por-ous Media,1993,11(1):53-70.
[12] SHABRO V,JAVADPOUR F,TORRES-VERD N C.A generalized finite-difference diffusive-advective(FDDA)model for gas flow in micro-and nano-porous media [J].World Journal of Engineering,2009,6(3):7-15.
[13] KADANOFF L P.Scaling laws for Ising models near Tc [J].Physics Physique Fizika,1966,2(6):263-272.
[14] DONG H.Micro-CT imaging and pore network extrac-tion [D].London:Department of Earth Science and En-gineering,Imperial College,2007.
[15] HILFER R.Local-porosity theory for flow in porous media [J].Physical Review B,1992,45(13):7115.
[16] BOGER F,FEDER J,SSANG T J,et al.Microstruc-tural sensitivity of local porosity distributions [J].Phys-ica A:Statistical Mechanics and its Applications,1992,187(1/2):55-70.
[17] ISCAN A,KOK M,BAGCI A.Permeability reduction due to formation damage by drilling fluids [J].Energy Sources,Part A,2007,29(9):851-859.
[18] FAUZI U,HOERDT A,NEUBAUER F.Influence of coordination number and percolation probability on rock permeability estimation [J].Geophysical Research Let-ters,2002,29(8):78.
[19] KING P R.The use of renormalization for calculating ef-fective permeability [J].Transport in Porous Media,1989,4(1):37-58.
[20] YEO I W,ZIMMERMAN R W.Accuracy of the renor-malization method for computing effective conductivities of heterogeneous media [J].Transport in Porous Media,2001,45(1):129-138.
[21] DYKHNE A.Conductivity of a two-dimensional two-phase system [J].Sov Phys JETP,1971,32(1):63-65.
[22] KARIM M,KRABBENHOFT K.New renormalization schemes for conductivity upscaling in heterogeneous media [J].Transport in Porous Media,2010,85(3):677-690.
[23] MILTON G W.The theory of composites [ M].Cam-bridge:Cambridge University Press,2002:77-85.
[24] TORQUATO S.Random heterogeneous materials:mi-crostructure and macroscopic properties [ M].New-York:Springer Science &Business Media,2013.
[25] TORQUATO S,KIM I C,CULE D.Effective conduc-tivity,dielectric constant,and diffusion coefficient of digitized composite media via first-passage-time equa-tions [J].Journal of Applied Physics,1999,85(3):1560-1571.
[26] GREEN C P,PATERSON L.Analytical three-dimen-sional renormalization for calculating effective permea-bilities [J].Transport in Porous Media,2007,68(2):237-248.
[27] RUTH D,SUMAN R.The rale of microscopic cross flow in idealized porous media [J].Transport in Porous Media,1992,7(2):103-125.
[28] SUMAN R,RUTH D.Formation factor and tortuosity of homogeneous porous media [J].Transport in Porous Media,1993,12(2):185-206.

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基于三维重正化近似方法的等效渗透率计算

Calculation of effective permeability based on approximation of 3D renormalization

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 表征岩样孔隙结构的CT图像及网格剖分)

2 基本剖分单元的等效渗透率计算

(1)

(2)

(3)

3 二维剖分网格块等效渗透率重正化计算的精确关系

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

4 三维介质网格剖分块的等效渗透率近似关系与重正化结果的刻度

4.1 三维介质重正化等效渗透率的近似计算关系

(11)

(12)

(13)

(14)

4.2 重正化等效渗透率计算结果的刻度

5 模拟结果分析及应用

5.1 二维和三维随机棋盘格的等效渗透率计算

(15)

(16)

(17)

(18)

5.2 简单理想多孔介质模型计算结果的比较

(19)

(20)

5.3 实际岩心孔隙结构CT成像数据的应用

6 结论

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

稿件历史

参考文献